¿Es ésta una buena manera de explicar la Paradoja de Skolem?

Question

La paradoja de Skolems muestra un conflicto ostensible entre el Thoerem de Cantor ( CT ) y el Teorema de Löwenheim-Skolem a la baja ( ST ).

CT para cualquier conjunto $A$ el conjunto de poderes de $A$ , $P(A)$ tiene una cardinalidad estrictamente mayor que $A$ . La cardinalidad es en términos de biyección: dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos. Un conjunto $A$ es contable si existe una objeción entre $A$ y el conjunto de naturales $\omega$ . Ya que (por CT ) ninguna función se somete a $\omega$ en su conjunto de poderes, aprendemos que $P(\omega)$ es incontable. Así, CT generalmente nos dice que algunos conjuntos son incontables.

ST : Si una teoría de primer orden contable tiene un modelo infinito, tiene un modelo contable. La axiomatización estándar de la teoría de conjuntos, ZFC, es una teoría de este tipo.

Supongamos que ZFC tiene un modelo (que debe ser infinito).

Por ST ZFC tiene un modelo contable.

Por CT podemos deducir la existencia de conjuntos incontables a partir de ZFC.

Por lo tanto, debe haber algún conjunto A tal que satisfaga $A$ es incontable. Es decir, no existe una biyección $f \in$ entre $A$ y $\omega$ .

Sin embargo, como tiene un dominio contable, sólo hay un número contable de elementos disponibles para ser miembros de A .

Por lo tanto, A aparece tanto contable como incontable.

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Algunos buenos enlaces que he encontrado:
1. ¿Cómo llegó la lógica de primer orden a ser la lógica formal dominante? (y comentarios)

Answer 1

En efecto, $\mathfrak M$ ve sólo una pequeña fracción del universo, en particular no ve la biyección entre $\omega$ y ella misma, o entre $\omega$ y algunos de los miembros de $\mathfrak M$ .

Sin embargo, es perfectamente posible tener un modelo que es contable y tiene elementos que son incontables.

Si se empieza por tomar los números reales y utilizarlos para generar un modelo contable, se terminará con un modelo contable de ZFC (por supuesto no sabría de su propia contabilidad) en el que hay un realmente conjunto incontable.

Recordemos que $\mathfrak M\models A\text{ is countable}$ si y sólo si hay $f\in\mathfrak M$ que es una biyección entre $A$ y $\omega$ . Si $\mathfrak M$ no sabe de tales $f$ , $\mathfrak M\models A\text{ is uncountable}$ . Este es el corazón de los puntos de vista internos-externos.

Si, por el contrario, exigimos $\mathfrak M$ sea transitivo, entonces cada elemento de $\mathfrak M$ tiene que ser también contable (ya que es un subconjunto de $\mathfrak M$ por transitividad).

Answer 2

Un conjunto es contablemente infinito si está en biyección con $\mathbb{N}$ . Si tienes un modelo contable, un conjunto puede ser incontable desde el "punto de vista" del modelo simplemente porque el modelo no contiene la biyección. Así que el modelo no ve la biyección, y un conjunto es visto como incontable.