Máxima Ideales de $\mathbb{R}^{\infty}$

Question

En el ring $\mathbb{R}^{\infty}$ (con las operaciones estándar del componente sabio de suma y multiplicación), ¿cuáles son los máximos ideales?

Era bastante simple para determinar que los ideales con una sola coordenada fija en $0$ (es decir,$\{0\} \times \mathbb{R} \times \cdots$, $\mathbb{R} \times \{0\} \times \mathbb{R} \times \cdots$) son claramente máxima ideales, ya que el cociente del anillo es claramente isomorfo a $\mathbb{R}$.

Sin embargo, me han dicho que hay un ideal maximal de que me estoy perdiendo, y esto probablemente tiene algo que ver con el infinito-dimensional aspecto del anillo (de lo contrario, si era de un número finito de producto Cartesiano, entonces cualquier ideal debe ser un producto Cartesiano de los ideales de la $\mathbb{R}$), aunque yo no puedo poner una manija en lo que es.

Answer 1

La máxima ideales están relacionados con ultrafilters.

Deje $\def\U{\mathcal U}\U$ ser un ultrafilter en $\mathbb N$, y deje $I_\U$ el conjunto de secuencias en $\mathbb R^\mathbb N$ tal que el conjunto de índices en los que uno de ellos desaparece es un elemento de $\U$. Que es un ideal maximal, y de esta manera se consigue todos ellos.

Answer 2

Si usted no sabe ultrafilters, aquí está otro (pero esencialmente el mismo que el de Mariano) argumento:

Considerar que todas las secuencias de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ que finalmente son cero. Forman una adecuada ideal que no está contenida en cualquiera de los máximos ideales que usted ha mencionado. Pero debe estar contenido en un ideal maximal...