¿Cuáles son los divisores de cero de $C[0,1]$ ?

Question

Suponga que tiene un anillo $(C[0,1],+,\cdot,0,1)$ de funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ con la adición definida como $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y la multiplicación definida como $(fg)(x)=f(x)g(x)$ . Tengo curiosidad por saber cuáles son los divisores del cero.

Mi corazonada es que los divisores de cero son precisamente las funciones cuyo conjunto cero contiene un intervalo abierto. Pienso que si $f$ es una función que es al menos cero en un intervalo abierto $(a,b)$ entonces existe alguna función que es distinta de cero en $(a,b)$ pero cero en todas las demás partes del $[0,1]\setminus(a,b)$ . Por el contrario, si $f$ no es cero en ningún intervalo abierto, entonces todo cero está aislado en un sentido. Pero si $fg=0$ para algunos $g$ entonces $g$ es cero en todas partes excepto en estos puntos aislados, pero la continuidad implicaría que también es cero en los ceros de $f$ pero luego $g=0$ Así que $f$ no es un divisor cero.

Sin embargo, me resulta difícil afirmarlo formalmente, ya que sólo estoy estudiando álgebra, y no análisis. ¿Es correcta esta intuición, y si es así, cómo podría expresarse rigurosamente?

Answer 1

Su conjetura es correcta y su prueba también es casi completa.

Afirmación:
Los divisores de cero de $C[0,1]$ son las funciones que desaparecen en algún intervalo abierto no vacío $(a,b)\subset [0,1]$

Prueba
Fijar $f\in C[0,1]$

a) Supongamos $f\mid(a,b)=0$ para algunos $0\leq a\lt b\leq 1$ .
A continuación, elija $c,d$ tal que $a\lt c\lt d\lt b$ y una función continua $g\in C[0,1]$ que es distinto de cero exactamente en $(c,d)$ ( esto es muy fácil de construir: tomar una función afín a trozos ). Entonces $fg=0$ aunque $g\neq 0$ lo que significa exactamente que $f$ es un divisor cero.

b) Supongamos que $f $ es un divisor cero, es decir, que $fg=0$ para algún valor no nulo $g\in C[0,1]$ y demostremos que $f\mid(a,b)=0$ para algunos $(a,b)\subset [0,1]$ .
Desde $g\neq 0$ existe $x\in [0,1]$ con $g(x)\neq 0$ y por continuidad de $g$ podemos encontrar algún barrio $(a,b)$ de $x$ con $g(y)\neq0$ para todos $y\in (a,b)$ .
Pero como $fg=0$ en $(a,b)$ esto obliga a $f\mid(a,b)=0$ , tal y como se ha anunciado.

Answer 2

Tienes la idea general correcta, pero es un poco más complicado que eso: el conjunto cero de la función $f$ puede ser un conjunto de Cantor, que no tiene puntos aislados.

Supongamos que $Z=\{x\in[0,1]:f(x)=0\}$ no contiene ningún intervalo abierto no vacío; $Z$ está cerrado, por lo que esto dice que $Z$ no es denso en ninguna parte $[0,1]$ . Sea $V=[0,1]\setminus Z$ : $V$ es un conjunto abierto denso en $[0,1]$ . Supongamos ahora que $fg=0$ ; está claro que debemos tener $g(x)=0$ por cada $x\in V$ . Pero $V$ es denso en $[0,1]$ y $g$ es continua, por lo que $g(x)=0$ por cada $x\in[0,1]$ y $f$ no es un divisor de cero.

Su argumento en la otra dirección es correcto: si $Z$ contiene un intervalo abierto no vacío $(a,b)$ , sólo deja que

$$g(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x\in[0,1]\setminus(a,b)\\\\ x-a,&\text{if }a<x\le\frac12(a+b)\\\\ b-x,&\text{if }\frac12(a+b)\le x<b\;. \end{cases}$$

Entonces $fg=0$ pero $g$ es distinto de cero en $(a,b)$ .

Answer 3

Voy a comentar y reordenar su lista, como físico experimental de partículas jubilado.

   Make conjectures & hypotheses (theory)

Teorías preexistentes de éxito con sus postulados y modelos matemáticos estrictos . Después de todo la física comenzó antes de Newton.

   Make predictions from this theory

Utilizar la teoría para predecir comportamientos en experimentos realizados actualmente, para confirmar/validar teorías preexistentes.

   Carry out experiments and observations

Sorpresa, el experimento no se ajusta a la teoría preexistente. Rascarse la cabeza de los experimentalistas, fiebre de los teóricos.

Ejemplo: la radiactividad necesitaba la relatividad especial y la mecánica cuántica para ser modelada teóricamente, y las observaciones existían mucho antes que las teorías, los datos experimentales forzaron la necesidad de nuevas teorías.

Aparecen nuevas teorías:

   Test and embrace the new theory if
        the data fit the predictions more accurately than alternative theories
        the new theory is not more complex than other plausible alternatives

No. Probar y adoptar las nuevas teorías para la nueva región de validez y asegurarse de que las viejas teorías pueden demostrarse matemáticamente como emergentes de las nuevas. Por ejemplo: la mecánica estadística la nueva teoría, se demostró que tenía como teoría emergente la Termodinámica, un elegante modelo matemático que funcionaba bien en su región de validez mucho antes de que se formulara la mecánica estadística.

A continuación, diseñar experimentos que puedan mostrar desviaciones del modelo actual que conduzcan a una comprensión teórica más profunda, como ahora con el LHC el modelo estándar se está probando/validando y todo el mundo está conteniendo la respiración para que se encuentre una discrepancia que lleve a la necesidad de teorías superiores hipotéticas.

La física no progresa por el hecho de que un teórico proponga un modelo totalmente nuevo para ser comprobado. Esto ha dado lugar a muchas propuestas descabelladas, y la gente no entiende por qué no se les trata como el nuevo Einstein.

Einstein construyó sobre las teorías anteriores, ciertamente pensando fuera de la caja, pero sus teorías se basaron en las anteriores extendiéndolas para nuevas regiones de validez, y la unión entre las teorías más antiguas y la relatividad general y la relatividad especial es suave y computable. Para el método científico en física no funciona el "fuera lo viejo y dentro lo nuevo".

Y para responder sobre los métodos estadísticos, todos los métodos estadísticos se utilizan para evaluar la bondad del ajuste de los datos a las teorías. Ejemplo: la reciente búsqueda y descubrimiento del Higgs en el LHC.

También hay que tener en cuenta que en la física de partículas de ahora, la especialidad de teórico y experimentalista es necesaria ya que la cantidad de conocimientos y experiencia necesaria en cada rama es enorme. Un síntoma son los 3.000 físicos que firman los documentos experimentales del LHC.

Answer 4

Si $A\subset[0,1]$ es un conjunto cerrado arbitrario, entonces $A$ - es el conjunto cero de la función continua $$ d_A(x)=\inf\{|y-x|:y\in A\} $$ En efecto, es continuo, véase esta respuesta . Y la explicación que $A$ su conjunto cero se puede encontrar aquí .

Si $A$ y $[0,1]\setminus A$ no es denso en $[0,1]$ entonces $d_A$ es divisor de cero. En efecto, consideremos una función continua más $$ d_{[0,1]\setminus A}(x)=\inf\{|y-x|:y\in[0,1]\setminus A\} $$ Esta función es distinta de cero ya que $[0,1]\setminus A$ no es denso en $[0,1]$ y para todos $x\in [0,1]$ $$ d_A(x)d_{[0,1]\setminus A}(x)=0 $$ Se puede generalizar esta construcción a espacios métricos arbitrarios.