Uno es familiar desde la Teoría Cuántica que cada uno de los momentum angular generadores $L_{x,y,z}$ son Campos de muerte para el estándar de la métrica en la $S^2$ y la suma de los cuadrados de estos generadores da el Laplaciano en R^3.
Parece que de alguna literatura que esta idea, en cierto sentido, se generaliza.
Vagamente lo que me parece es que para espacios homogéneos $G/H$ si $K_i$ son los campos de la muerte (en $G/H$ ?) a continuación, $\sum_i K_i K_i$ es el Laplaciano en $G/H$.
Sería útil si uno me puede decir ¿cuál es la precisa instrucción que contiene la idea y también lo son las advertencias y la prueba de por qué debe ser así.
En este contexto la gente también habla de la "Casimir Laplaciano". Lo que precisamente es eso?
Casimir Laplaciano que se produce en este camino,
Si $T_a$ pasan a ser los Campos de la muerte en $G$ $X_b$ ser los campos de la muerte en $H$, a continuación, en algunos casos (cuando el álgebra es reductivo?) una relación de este tipo tiene,
$$K_i K_i = T_aT_a - X_b X_b$$
(suma sobre índices repetidos implícita)
Aquí también no sé precisa de la declaración o la prueba, pero estoy viendo alusiones a él en los periódicos.
También hay una cuestión de 3 "diferentes" maneras de definir el laplaciano, como la ordinaria $\nabla ^{\mu}\nabla _{\mu}$
$$or$$
como $\sum_i \nabla_{X_i^*}\nabla _ {X_i ^*}$ donde $\nabla _ {X_i ^*}$ se define como la denominada $H$-conexión en $G/H$."
Así es como, al parecer, la $H$ conexión de la evaluación en la sección $\psi: G/H \rightarrow G$ a lo largo del vector presentada $X$ (sección homogénea el vector paquete de más de $G/H$) se define,
$$\nabla_{X^{*}} \psi (x_{0}) = lim_{t\rightarrow 0} \frac{exp(-tX)\psi(\gamma_X(t))-\psi(x_0)}{t}$$
donde $\gamma_X(t) = exp(tX)x_o$ es la integral de la curva de $X$ a través de el origen de las $G/H$ i.e $x_0$
$$or$$
como a través de la Mentira derivado $\sum_i L_{K_i} L_{K_i}$
Cómo entender la diferencia y las relaciones entre estas nociones de Laplacians?
Como un ejemplo del tipo de relaciones que estoy tratando de entender permítanme citar $3$ de tales ecuaciones,
- $$\nabla_{\beta} \nabla ^{\beta} V^{\alpha} = \left ( \sum _i L_{K_i}L_{K_i} V \right )^{\alpha} + R^{\alpha} _{\beta} V^{\beta} + f^{\beta}_{\gamma}{^{\alpha}} \nabla _{\beta} V^{\gamma}$$
donde la constante de estructura $f$ y el Tensor de Ricci son de la $G/H$ $V$ es un campo de vectores en $G/H$ (escrito aquí en el vielbein base) y la conexión es en $G/H$, pero los campos de la muerte son de $G$. El Tensor de Ricci puede para dichos espacios se escribe en términos de la estructura de las constantes o el operador de Casimir de la representación de la $H$ el cual se define el vector paquete de preocupación.
$$\sum _i L_{K_i}L_{K_i} = -\sum _{\lambda} C_2(\lambda)$$ where the right hand side is a sum over Casimirs of all irreducible representations of $G$ and the Lie derivatives on $G$ acting in a `natural' way on the fields of $G/H$
-
Para el `H-conexión" de la primera ecuación se reduce a,
$$\nabla_{\beta} \nabla ^{\beta} V^{\alpha} = \left ( \sum _i L_{K_i}L_{K_i} V \right )^{\alpha} - (f_p f^{p})^{\alpha}_{\gamma} V^{\gamma} $$
donde el $f$ son los generadores de la representación de la $H$. Básicamente, los nuevos términos es el de los componentes de la Casimir de que la representación de los $H$ a lo largo de la $G/H$ componentes.
