¿Cuál es el nombre para las siguientes categorías de propiedad?

Question

Hay un nombre para aquellas categorías en las que los objetos poseen una estructura dada y cada bijective de morfismos determina un isomorfismo entre los objetos correspondientes?

Ejemplos de las categorías de ese tipo abundan: Gr, Conjunto, ...

Un ejemplo específico de una categoría donde la restricción no está dada por la parte Superior: una de morfismos no es una función continua entre espacios topológicos. Ahora, es fácil dar aquí un ejemplo concreto de un bijective de morfismos entre [0,1) y $\mathbb{S}^{1}$ que deja de ser un isomorfismo de espacios topológicos. De hecho, es mucho más conocido en este caso, la derecha?

Answer 1

Los comentarios sobre la pregunta señalar que no se muy bien planteado: la propiedad "bijective" no está definido para morfismos de cualquier categoría.

Sin embargo, para las correspondencias entre conjuntos, "bijective" significa "inyectiva y surjective". Una forma común para interpretar "inyectiva" en cualquier categoría es "monic", y una forma común para interpretar "surjective" en cualquier categoría es "épico". Así, podríamos interpretar "bijective" como "monic y épico".

A continuación, JHS la pregunta es: ¿hay un nombre para las categorías en las que todos los morfismos que es a la vez monic y epic es un isomorfismo? Y la respuesta es sí: equilibrado.

No es particularmente inspirado elección del nombre, tampoco parece ser un concepto importante. Pero la terminología es muy antigua y bien establecida, en su propia pequeña manera.

Por cierto, usted no tiene que interpretar "inyectiva" y "surjective" en la forma propuesta. Usted podría, por ejemplo, interpretar "surjective" como "regular épica", y, de hecho, que a menudo es lo más sensato. Pero entonces la pregunta es trivial, ya que cualquier morfismos que tanto monic y regular epic es un isomorfismo.

Answer 2

Esta no es exactamente la pregunta que usted me hizo, pero no la dirección de la noción de "bijective" morfismos en categorías, así que espero que me perdone esta digresión.

Los ejemplos que hemos mencionado - Set, Gp, Top - son todos concreto, es decir, están equipadas con un olvidadizo functor U a Conjunto. Decimos que una de morfismos f en una concreta categoría C es inyectiva si su imagen Uf es inyectiva, es decir, monic en la categoría de Conjunto. Doblemente, f es surjective si la Uf es surjective. Por lo general se piensa en categorías concretas como "conjuntos con estructura", por lo que estas definiciones coinciden con el uso común de la terminología: por ejemplo, la llamada de un mapa de espacios surjective cuando el subyacente mapa de conjuntos.

Así que tenemos cuatro adjetivos para el uso de las flechas en C: monic, épica, inyectiva, surjective. Es un ejercicio fácil ver que todas las inyecciones son monic y todos surjections épicas. El recíproco no es cierto en general, pero encontrar ejemplos de monos que no inyectiva y epis que no surjective puede ser complicado, y he aquí por qué.

A menudo, especialmente en "algebraica" de ejemplos, el functor U : C → Conjunto ha dejado adjunto F. Cuando este es el caso, es un ejercicio fácil ver que cada mono debe ser inyectiva. Dualmente, si U tiene un derecho medico adjunto, a continuación, cada epi es surjective. Así, por ejemplo, el olvidadizo functor U : Top → Conjunto tiene tanto adjoints, y por lo tanto para los espacios de las nociones inyectiva/surjective y monic/epic coinciden, momento en el que Tom el post de respuestas a su pregunta.

Aquí están algunos ejemplos de las categorías concretas donde estos conceptos diferentes, todos los cuales se pueden encontrar en Francisco Borceux del Manual de Categórico Álgebra (creo). En la categoría de divisible abelian grupos, el cociente mapa de $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es monic, a pesar de que claramente no es inyectiva. En la categoría de monoids, la inclusión $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ es épico, aunque no surjective. En la categoría de espacios de Hausdorff, los epis son funciones continuas con imagen densa, por lo que tampoco tiene por qué ser surjective.

Answer 3

"cada bijective de morfismos determina un isomorfismo"

Creo que te refieres a que el olvidadizo functor refleja invertibility.

Deje $\bf A$ ser la "categoría de objetos con estructura" y su estructura-la preservación de los mapas (homomorphisms), $\bf S$ la categoría de transportistas (tal vez conjuntos y funciones) y $U:{\bf A}\to{\bf S}$ "olvidadizo" functor entre ellos. De hecho, acaba de dejar a $U:{\bf A}\to{\bf S}$ ser cualquier functor que te gusta.

Ahora vamos a $f:X\to Y$ ser cualquier morfismos de $\bf A$. Usted está diciendo que, siempre que $U f:U X\to U Y$ es un isomorfismo (como un bijection), a continuación, $f$ ya era un isomorfismo.

El olvidadizo functor de cualquier categoría de álgebras tiene esta propiedad, como más en general, el derecho adjuntos de cualquier monádico contigüidad. Sin embargo, el conjunto subyacente functor de los habituales de la categoría de espacios topológicos no, porque hay muchos diferentes topologías que se pueden poner en un conjunto.

Answer 4

Como otras personas comentado, el lenguaje de las categorías es más rica que el lenguaje de conjuntos de estructuras (Bourbaki estructuras). Hay muchas categorías, donde los objetos no tienen un conjunto subyacente.

Sin embargo, se puede reformular la propiedad formular de la siguiente manera: la categoría C admite una fiel conservador functor a los Conjuntos. Entonces podemos interpretar que la fibra de este functor más de un conjunto dado S como el conjunto de estructuras en S y llamar a la functor olvidadizo functor. Por la fidelidad del homs en C serán subconjuntos de aquellos en los Conjuntos, y podemos decir que el homs en C preservar la estructura.