Demostrar que el Toro no es homotopy equivalente a $S^1\vee S^1\vee S^2$

Question

Demostrar que el Toro no es homotopy equivalente a $S^1\vee S^1\vee S^2$.

Necesito mostrar que un homotopy equivalencia entre ellos no existe, pero parece que los grupos de homología de los espacios son iguales. ¿Cómo puedo mostrar? quizás utilizar el teorema de punto fijo?

Answer 1

El espacio de $S^1\vee S^1\vee S^2$ es la cuña de la suma de los dos círculos y una esfera. En particular, este espacio es también conocido como ratón espacio.

Es bastante fácil ver que el grupo fundamental de la $S^1\vee S^1\vee S^2$ es $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}\cong\langle a,b| \emptyset \rangle$ ( usted puede utilizar el Seifert-VanKampen teorema de ver ); mientras que el grupo fundamental de que el toro es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\langle a,b | [a,b]=1\rangle$, que no es isomorfo a la anterior.

Si hay una equivalencia homotópica entre ellos; su fundamental de los grupos debe ser isomorfo; pero esto no es cierto. Así que no hay ninguna equivalencia homotópica.