Suma de Gauss Variables

Question

Digamos que conozco a $X$ es una Variable Gaussiana.
Por otra parte, sé que $Y$ es una Variable Gaussiana y $Y=X+Z$.

Vamos a $X$ $Z$ son Independientes. Cómo puedo probar $Y$ es una Variable Aleatoria Gaussiana si y sólo si $Z$ es una Gaussiana R. V.?

Es fácil mostrar la otra manera alrededor ($X$, $Z$ Ortogonal Normal y por lo tanto crear un Vector Gaussiano por lo tanto, cualquier Combinación Lineal de las dos es una Variable Gaussiana).

Gracias

Answer 1

A tu pregunta: dado que X y Z son independientes, X es Gaussiano (voy a usar "normal"), y Y = X+Z, probar que S es normal iff Z es normal. A la derecha? Como se observa, una dirección, es fácil: si Z es normal, entonces también lo es Y=X+Z. Así que para la otra dirección, suponga que Y es normal. Tenemos que demostrar que Z es normal también.

Tal vez hay una manera más fácil aún, pero es sencillo de utilizar funciones características, que caracterizan las distribuciones. Puesto que X y Z son independientes,

$\varphi_Y(t) = E[e^{itY}] = E[e^{it(X+Z)}] = E[e^{itX}]E[e^{itZ}]$, y así,
$\varphi_Z(t) = E[e^{itZ}] = E[e^{itY}]/E[e^{itX}]$

Esto significa que Z tiene exactamente la función característica de una variable normal, y por lo tanto es normal.

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Más interesante y mucho más en general, existe un teorema de Cramer (por ejemplo, ver aquí), que dice que si X y Z son independientes y X+Z sigue una distribución normal, entonces X y Z son!