No, no puede ser secuencial, a menos $X$ es finito-dimensional. De lo contrario, para cada una de las $k$, se puede elegir un subespacio $X_k$$X$$\dim X_k = k$. Además, podemos elegir de un número finito de $\tfrac{1}{k}$-net $x_{k,j}$ de la esfera $\{x\in X_k\colon \|x\|=k\}$ $X_k$ (posible gracias a la compacidad). Deje $S$ ser la unión de todas las redes recogido anteriormente. Nos afirman que 0 está en la debilidad de cierre de $S$.
De hecho, vamos a $U$ ser débilmente abrir barrio de 0. Deje $f_1, \ldots, f_n\in X^*$ ser norma en-uno funcionales y deje $\varepsilon > 0$ ser tal que
$$\{x\in X\colon \max_i |\langle f_i, x\rangle| < \varepsilon \}\subseteq U.$$
Tome $k$$1/k <\varepsilon$. Al $n<k$, no debe ser $y_k\in X_k$ tal que $\langle f_i, y_k\rangle = 0$ todos los $i$. Sin pérdida de generalidad $\|y_k\|=k$. Pick $j$, de modo que $\|x_{k,j} - y_k\|\leqslant\tfrac{1}{k}$. En consecuencia,
$$|\langle f_i, x_{k,j}\rangle| = |\langle f_i, x_{k,j} - y_k\rangle| \leqslant \|x_{k,j} - y_k\|\leqslant\tfrac{1}{k}<\varepsilon, $$
que es $x_{k,j}\in U$.
Esto establece la demanda y por lo tanto $S$ es no débilmente cerrado.
Por otro lado, cada débilmente convergente secuencia en la $S$ es acotado, y por lo tanto vive solo en un número finito de puntos de $S$. Por lo tanto, la débil límite pertenece a $S$. Esto produce que el $S$ es débilmente secuencialmente cerrado.
Hay un fortalecimiento de este resultado por Gabriyelyan, Kąkol y Plebanek (ver Teorema 1.5 aquí):
Teorema. Deje $E$ ser un espacio de Banach. Entonces la topología débil de $E$ tiene el Ascoli de la propiedad si y sólo si $E$ es finito-dimensional.
