¿Cuál es el valor esperado de Una?

Question

El Contento de los Animales de la Perrera tiene 18 jaulas en una fila. Para asignar estas jaulas al azar a 6 perros, 6 gatos, y 6 de los cerdos vietnamitas (con un animal por jaula). Todos los arreglos son igualmente probables.

Sea a el número de veces en la fila de jaulas de que dos animales de la misma especie son adyacentes. Por ejemplo, en la disposición DCPCDPPPDCDPCDCCPD (donde D=perro, C=cat, y P=cerdo), tenemos A=3.

¿Cuál es el valor esperado de Una?

(no estoy seguro si la expectativa es la correcta etiqueta aquí)

Answer 1

La probabilidad de que Fido y Rover (dos perros) son adyacentes en jaulas $$\frac{17}{\binom{18}2}=\frac19,$$ porque hay $\binom{18}2$ opciones para la (desordenada) par de jaulas para ponerlos en, e $17$ pares adyacentes de las jaulas.

Para obtener el valor esperado, se multiplica esta probabilidad por el número de la misma especie parejas de animales: $$\frac19\cdot3\cdot\binom62=5.$$ El valor esperado es $5$.

Answer 2

Se utiliza el método del indicador variables aleatorias.

Para$i=1$$17$, vamos a $X_i=1$ si Jaulas $i$ $i+1$ son ocupados por los animales de la misma especie; deje $X_i=0$ lo contrario. Queremos $E(Y)$ donde $Y=X_1+\cdots+X_{17}$.

Por la linealidad de la expectativa, $E(Y)=E(X_1)+\cdots+E(X_{17})$.

Tenga en cuenta que $\Pr(X_i=1)=\frac{5}{17}$. Para cualquier animal en la Jaula $i$, la probabilidad de que un animal de la misma especie que está en la Jaula $i+1$$\frac{5}{17}$.

De ello se desprende que $E(Y)=17\cdot \frac{5}{17}=5$.