Deje de $p_1, p_2,\dots,p_n$ ser polinomios de $k$ variables $x_1,\dots,x_k$ y $p_1^2 + \dots +p_n^2=x_1^2 + \dots + x_k^2$ Demostrar que $n \geq k$.

Question

Deje de $p_1, p_2,...,p_n$ ser real polinomios de $k$ variables $x_1,...,x_k$ y asumir que $$p_1^2 + \dots +p_n^2=x_1^2 + \dots + x_k^2$$

Demostrar que $n \geq k$.

Fuera de tantas preguntas que me han intentado, esta es la primera pregunta que me tienen absolutamente ninguna idea de cómo empezar (me avergüenzo de mí mismo). ¿Alguien puede dar alguna pista?

Answer 1

Vamos a ver. Para empezar, todos los polinomios debe ser lineal (de lo contrario la plaza de los más altos grados término de mayor grado del polinomio tiene grado mayor que 2 y no hay posibilidades de cancelar con cualquier cosa).

El resto es simple: por un polinomio lineal, $p(\vec x)=0$ es un hyperplane que tiene un vector normal. Con $n<k$, $n$ vectores hacer no forman una base completa en $k$-espacio tridimensional, por lo que hay un no-cero vector perpendicular a todos ellos (es decir, pertenecientes a todos los hyperplanes donde $p_i(\vec x)=0$). Así que para este vector $p_1(\vec x)=\dots=p_n(\vec x)=0$, por lo tanto $p_1^2 + \dots +p_n^2=0$, pero $x_1^2 + \dots + x_k^2>0$.

Con $n=k$ las soluciones (además de la obvia $p_i=x_i$) un montón; acaba de tomar cualquier ortonormales. Por ejemplo, $({2\over3}x{1\over3}y+{2\over3}z,\; {2\over3}x+{2\over3}y{1\over3}z,\; -{1\over3}x+{2\over3}y+{2\over3}z)$ iba a hacer en 3D.

Answer 2

Ivan Neretin la respuesta de puntos, todos los polinomios deben ser estrictamente lineal. Es decir, cada polinomio puede ser escrito matricially $p_j = {\bf}_j' {\bf x}$, donde ${\bf}_j$ y ${\bf x}$ son $k \1$ matrices (polinomio de coeficientes y variables respectivamente).

Entonces $$p_j^2 = ({\bf}_j' {\bf x})^2 = {\bf x}' A_j {\bf x}$$ donde $A_j = {\bf}_j{\bf}_j'$ es un $k\times k$ (rango uno, positiva definida) de la matriz.

A continuación, [ * ], debido a que $\sum_{i=1}^k x_i^2= {\bf x}' {\bf x}$ queremos

$$\sum_{j=1}^n {\bf x}' A_j {\bf x}= {\bf x}' {\bf x} = {\bf x}' {\bf x}$$ donde $A = \sum_{j=1}^n A_j$ (simétrica, definida positiva). Esto implica $A=I_k$.

Pero tenemos que suma al menos $k$ matrices de rango uno, para obtener un rango de $k$ matriz. Por lo tanto $n\ge k$

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[*] Como se ha dicho en los comentarios, una alternativa equivalente camino aquí es:

Debemos tener ${\bf x}' {\bf x}=\sum_{i=1}^k x_i^2>0$ para ${\bf x}\ne {\bf 0}$. Esto implica ${\bf x} \ne {\bf 0}$ (${\bf x}\ne {\bf 0}$), por lo tanto $$ debe tener rango completo ($k$). Luego, al final del párrafo anterior se aplica.

Answer 3

Después de haber escrito todo lo que fuera, ahora me doy cuenta de que esto sólo como una paráfrasis de leonbloy la respuesta, el uso explícito indexado sumas y llenar los detalles, pero la figura que bien podría publicar en este punto.

Como ya se ha señalado, cada polinomio debe ser estrictamente lineal. Es decir, por cada $q$, se puede escribir $$p_q(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^k \alpha_q^ix_i,$$ para que $\alpha_q^i$ es el escalar de $x_i$ en la $p^{\text{th}}$ polinomio. Pero entonces $$\sum_{q=1}^n(p_q(\textbf{x}))^2=\left(\sum_{i=1}^k \left[\sum_{q=1}^n (\alpha_q^i)^2\right](x_i)^2\right)+\left(\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \left[\sum_{q=1}^n 2\alpha_q^i\alpha_q^j\right]x_ix_j\right).$$

Por lo tanto, si estos polinomios $p_1,p_2,\ldots,p_n$ satisfacen la propiedad de que $\sum_{q=1}^n(p_q(\textbf{x}))^2=\sum_{i=1}^k (x_i)^2$, entonces necesariamente $$\sum_{q=1}^n (\alpha_q^i)^2=1$$ para todo $i$, mientras que $$\sum_{q=1}^n 2\alpha_q^i\alpha_q^j=0$$ para todo $i\neq j$. El pensamiento de estos $\alpha_i^p$ como un índice de los vectores en $n-$dimensional en el espacio euclidiano, vemos que esto se reduce a la afirmación: "usted no puede tener $q$ ortogonal de vectores unitarios en $\mathbb{R}^n$ menos $n\geq q$", que se sigue del teorema de la base de álgebra lineal. Espero que esto tiene sentido. Por favor, hágamelo saber si hay algo aquí no está claro en absoluto. Gran pregunta!