Es $\mathbb{C}$ igual a $\mathbb{R}^2$?

Question

Los números complejos son generalmente definidos formalmente como pares de números reales. Aunque hay operaciones en $\mathbb{C}$, tales como el complejo de la multiplicación, que no se encuentran en las operaciones que normalmente se aplica a $\mathbb{R}^2$, los conjuntos de sí mismos parecen ser los mismos. Cada uno consiste de pares de números reales.

Por lo tanto, es correcto decir que el $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$? Parece formalmente correcta, pero algo no se siente del todo bien.

Answer 1

La respuesta es sí y no.

$\Bbb C$ $\Bbb R^2$ son ambos conjuntos con la misma cardinalidad, y tienen una muy natural bijection entre ellos que conserva un buen montón de propiedades. Tanto que casi podríamos decir que estos dos juegos son los mismos para una gran cantidad de propósitos.

Pero estos dos llevan muy diferente de la estructura natural de la estructura. $\Bbb C$ es un campo y $\Bbb R^2$ no es (porque pointwise multiplicación no se forma de un campo). Incluso se puede argumentar que formalmente $\Bbb C$ es en el hecho de $\Bbb R[x]/(x^2+1)$, y no $\Bbb R^2$, y uno sería de al menos parcialmente correcta.

Personalmente, yo apoyo la respuesta de "no" más que el "sí" como respuesta. Y he aquí por qué. A menudo nos gusta pensar acerca de $\Bbb R$ como un subconjunto de a $\Bbb C$. Es decir, $x\in\Bbb C$ es un número real si y sólo si $\overline x=x$. Pero $\Bbb R$ no es un subconjunto de a $\Bbb R^2$, en su lugar hay una evidente incrustación $x\mapsto(x,0)$, pero aún así los números reales son generalmente no pares ordenados de números reales (incluso se puede notar que este enfoque tiene $\Bbb C$ como especie de una noción primitiva, y no se muy bien como $\Bbb R[x]/(x^2+1)$ como otros pueden ver).

Aunque, como he dicho, depende de cómo se defina cosas, porque "formalmente" las cosas se pueden hacer en un montón de maneras diferentes.

Answer 2

Usted puede definir el conjunto de los números complejos en formas diferentes. Una de esas formas definidas $\mathbb C$ $\mathbb R^2$ y, a continuación, pasa a definir la estructura algebraica de los números complejos. Si esa es la manera de definir los números complejos, entonces es ciertamente correcta de escribir $\mathbb C = \mathbb R^2$ como conjuntos.

Answer 3

Depende de lo que significa "igual".

• Ellos son "iguales" como conjuntos, en el sentido de que tanto puede ser visto como un producto Cartesiano de a $\mathbb R$ con sí mismo.
• Son iguales como espacios vectoriales, donde la igualdad se interpreta como un isomorfismo lineal (ambos son verdaderos espacios vectoriales de dimensión 2)
• Ellos no son iguales cuando se considerar $\mathbb C$ como un campo, porque cuando pensamos en $\mathbb R^2$ no podemos asignarle una estructura de anillo.

Answer 4

No, no, no, a menos que jugar algunos semántica de los juegos para que así sea. Un número complejo $c$ puede ser definido como:$c = a + bi$, y, de hecho,$\{a, b\} \in \mathbb{R}$. Pero, ¿qué es $i$? Esa es la unidad imaginaria, $i = \sqrt{-1}$. Y $i \not\in \mathbb{R}$. Que eso es un poco el punto de llamarlo "imaginario".

Así que usted tiene un par de números reales, pero en uno de esos números se multiplica por la unidad imaginaria. Por ejemplo, $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ (prefiero escribir $\frac{\sqrt{-3}}{2}$ pero que no acaba de satisfacer mi propósito aquí). Tanto en $-\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ son números reales. Pero $\frac{\sqrt{3}}{2}i$ es un número imaginario. Ahora, usted podría hacer $\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)i$ obtener $-\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{i}{2}$. ¿Cuál es el número en $\mathbb{R}^2$ que nos permitiría realizar un cambio similar? Y, ¿cómo podemos ser capaces de considerar que el equivalente a $i$?

Pero he malinterpretado sutilezas tan a menudo como punto de ellos, así que si cualquier cosa, incluso la más mínima poco mal con lo que yo he dicho aquí, vamos a oír hablar de él en picas.