Desafiando la desigualdad: $abcde=1$, muestran que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{33}{2(a+b+c+d+e)}\ge{\frac{{83}}{10}}$

Question

Deje $a,b,c,d,e$ ser números reales positivos que satisfacen $abcde=1$. ¿Cómo se puede probar que: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} +\frac{1}{e}+ \frac{33}{2(a + b + c + d+e)} \ge{\frac{{83}}{10}}\ \ ?$$

Answer 1

Esta es sólo una solución parcial, pero creo que alguien que esté más familiarizado con tan elementales desigualdades que yo podría ser capaz de terminarlo. Usted puede reemplazar a $a,b,c,d$, e $e$ con sus recíprocos y la desigualdad en la pregunta se convierte en $$a + b + c + d + e + {33 \over 2}{1 \over ({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} + {1 \over e})} \geq {83 \over 10}$$ Ya que todavía se $abcde = 1$, podemos reescribir esto como $$a + b + c + d + e + {33 \over 2}{1 \over ({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} + {1 \over e})} \geq {83 \over 10}(abcde)^{1 \over 5}$$ Algunos de álgebra convierte en $${a + b + c + d + e \over 5} - (abcde)^{1 \over 5} \geq {33 \over 50}(abcde)^{1 \over 5} - {33 \over 50}{5 \over ({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} + {1 \over e})}$$ En otras palabras, $AM - GM \geq {33 \over 50}(GM - HM)$. Esto solo es necesario cuando se $abcde = 1$, pero mediante la ampliación de este debería ser entonces para todos los $a,b,c,d,$$e$. Así que la desigualdad de los expertos por ahí... es algo que sigue es bien conocido por las desigualdades?

Answer 2

Aquí es un camino en el uso de "suavizado". Necesitamos espectáculo $abcde=1$, $$\frac1a + \frac1b + \frac1c + \frac1d +\frac1e+ \frac{33}{2(a + b + c + d+e)} \ge \frac{83}{10}$$

Considerar la sustitución de cualquiera de las dos variables, WLOG $a, b$,$\sqrt{ab}, \sqrt{ab}$. Claramente la restricción se mantiene, y el lado derecho es virgen.

Sin embargo, para la LHS, tenga en cuenta que por AM-GM

$$\frac1a +\frac1b \ge \frac2{\sqrt{ab}}; \quad a+b \le 2\sqrt{ab}$$ así LHS disminuye. Continuando con el proceso de suavizado, cada variable se sustituye por la media geométrica, y la LHS, sólo disminuye, por lo que es suficiente para demostrar la desigualdad de la $a=b=c=d=e=\sqrt[5]{abcde}=1$, lo que da trivialmente una igualdad.

Answer 3

Reemplazar con recíprocos por lo que el problema se convierte en

$a + b + c + d + e + {33 \over 2}{1 \over {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} + {1 \over e}} \geq {83 \over 10}$

Ordenar los números de modo que $a\le b\le c\le d\le e$ y asumir que $a,b,c,d,e$ no son todos iguales a $1$. Desde $a<1$ $e>1$ hemos $(a+b+c+d+e) - (1+b+c+d+ea) = a+e-1-ae = (e-1)(1-a) > 0$

Deje $x_1=\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}+ \frac{1}{e}$ $x_2=\frac{1}{1}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}+ \frac{1}{ea}$

$x_1 - x_2 = \frac{1}{a}+\frac{1}{e}-\frac{1}{ea} - 1 = \frac{(e-1)(1-a)}{ea} >0$

El geométrica armónica de la desigualdad dice $(bcdea)^{1/5}\ge \frac{5}{\frac{1}{1}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}+ \frac{1}{ea}} $ y por lo tanto el uso de $abcde=1$ llegamos a la conclusión de $\frac{1}{5}\ge \frac{1}{\frac{1}{1}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}+ \frac{1}{ea}}$. Así tenemos que el $x_2\ge 5$.

El valor medio teorema aplicado a la función de $f(x)=1/x$ da

$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = f'(\theta)(x_1-x_2)$ donde $x_2 \le\theta\le x_1$. Esto nos dice que desde $\theta\ge x_2\ge 5$ que $f'(\theta)\ge f'(x_2) \ge f'(5) = -\frac{1}{5^2}$

Desde $bcde=1/a$ no podemos tener a $b,c,d,e$ menos de $1/a^{1/4}$. Como $e$ es el más grande de ellos debemos tener $e\ge 1/a^{1/4}$ y desde $0\le a\le 1$ podemos concluir $ea\ge a^{3/4}\ge 1$.

Ahora poniendo todos los cálculos anteriores juntos da $\left(a+b+c+d+e+\frac{33}{2}\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}}\right) - \left(1+b+c+d+ea+\frac{33}{2}\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{ea}}\right) =$ $(e-1)(1-a) + \frac{33}{2}\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)= (e-1)(1-a) + \frac{33}{2}f'(\theta)(x_1-x_2) =$ $(e-1)(1-a) + \frac{33}{2}f'(\theta)\frac{(e-1)(1-a)}{ea}\ge (e-1)(1-a) - \frac{33}{50}\frac{(e-1)(1-a)}{ea}\ge $

$(e-1)(1-a) - \frac{33}{50}(e-1)(1-a) = \frac{27}{50}(e-1)(1-a)\ge 0$

Por lo tanto, si reemplazamos $a,b,c,d,e$ $1,b,c,d,ea$ el lado izquierdo de la desigualdad disminuye, manteniendo $abcde=1$. Ordenamos los números de $1,b,c,d,ea$ y elija el más pequeño y el más grande entre ellos y repita el proceso que acabamos de describir. Eventualmente, todos los cinco números se convertirá 1 mostrando así

$a+b+c+d+e+\frac{33}{2}\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}} \ge 1+b+c+d+ea+\frac{33}{2}\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{ea}}\ge \ldots \ge$

$1+1+1+1+1+\frac{33}{2}\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}}=\frac{83}{10}$