Posibles Duplicados:
elegir un número aleatorio entre 0 y 1 y registrar su valor. y seguir haciéndolo hasta que la suma de los números que supera los 1. cómo muchos intentos?Así que me estoy leyendo un libro acerca de la simulación, y en uno de los capítulos acerca de la generación de números aleatorios he encontrado el siguiente ejercicio:
Para uniformes $(0,1)$ random variables independientes $U_1, U_2, \dots$ definir
$$ N = \min \bigg \{ n : \sum_{i=1}^n U_i > 1 \bigg \} $$
Dar una estimación para el valor de $E[N]$.
Que es: $N$ es igual a la cantidad de números aleatorios uniformemente distribuidos en $(0,1)$ que debe ser sumada exceda $1$. ¿Cuál es el valor esperado de $N$?
Escribí algo de código y vi que el valor esperado de $N$ $e = 2.71\dots$
El libro no pide una prueba formal de este hecho, pero ahora tengo curiosidad!
Así que me gustaría pedir
- Un (posibilidad) simple (= nivel de pregrado) de la analítica de la prueba de este hecho
- Una intuitiva explicación para este hecho
o ambos.
Respuestas
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Aquí está una manera de calcular $\mathbb E(N)$. Comenzamos por complicar las cosas, es decir, para cada $x$$(0,1)$, podemos considerar $m_x=\mathbb E(N_x)$ donde $$ N_x=\min\left\{n\,;\,\sum_{k=1}^nU_k\gt x\right\}. $$ Nuestro objetivo es calcular los $m_1$ desde $N_1=N$. Suponga que $U_1=u$ algunos $u$$(0,1)$. Si $u\gt x$,$N_x=1$. Si $u\lt x$, $N_x=1+N'$ donde $N'$ es distribuido como $N_{x-u}$. Por lo tanto $$ m_x=1+\int_0^xm_{x-u}\,\mathrm du=1+\int_0^xm_{u}\,\mathrm du. $$ Por lo tanto, $x\mapsto m_x$ es diferenciable con $m'_x=m_x$. Desde $m_0=1$, $m_x=\mathrm e^x$ para cada $x\leqslant1$, en particular,$\mathbb E(N)=m_1=\mathrm e$.
De hecho, resulta que $P(N = n) = \frac{n-1}{n!}$$n \ge 2$. Deje $S_n = \sum_{j=1}^n U_j$, e $f_n(s)$ la función de densidad de probabilidad para $S_n$. Para $0 < x < 1$ hemos $f_1(x) = 1$ $f_{n+1}(x) = \int_0^x f_n(s) \ ds$ . Por inducción, obtenemos $f_n(x) = x^{n-1}/(n-1)!$$0 < x < 1$, y por lo tanto $P(S_n < 1) = \int_0^1 f_n(s)\ ds = \dfrac{1}{n!}$. Ahora $$P(N=n) = P(S_{n-1} < 1 \le S_n) = P(S_{n-1} < 1) - P(S_n - 1) = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{n-1}{n!}$$
