Una Variación de "racionales es denso en $\Bbb R$"

Question

Sé que el teorema de que el conjunto de $\Bbb Q$ de los racionales es denso en $\Bbb R$ dice:

Para cada $x\in \Bbb R$ y cada una de las $\epsilon>0$, existen $a$, $b\in \Bbb Z$ con $b\ne0$ tal que $$|x-{a\over b}|<\epsilon.$$

Pero ¿qué pasa si tengo que cambiar la condición de "$a,b\in \Bbb Z$ $b\ne0$ " por "$a$ $b$ son ambos primos". ¿El teorema todavía? En otras palabras, me pregunto si se cumple lo siguiente:

Para cada $x\in \Bbb R^+$ y cada una de las $\epsilon>0$, existen $a$, $b\in \Bbb P$, donde $\Bbb P$ es el conjunto de los números primos, de tal manera que $$|x-{a\over b}|<\epsilon.$$

Answer 1

Desde $\frac{a}{b} > 0$, sí.