¿Cuándo débil y topología original coinciden?

Question

Deje que $X$ ser un espacio vectorial topológico con la topología $T$.

Cuando es la debilidad de la topología en $X$ igual a $T$? Por supuesto, siempre tenemos $T_{débil} \subconjunto T$, por definición, pero cuando es de $T \subconjunto T_{débil}$?

Suponga que $X$ es cualquier espacio topológico, no necesariamente normativa.

Answer 1

Me gustaría añadir que si suponemos que $X$ a ser una normativa espacio vectorial (más de $\mathbb R$), entonces tenemos $T_{norm} = T_{débil}$ si y sólo si $X$ es finito dimensionales. A ver por qué este es el caso de:

$\Longrightarrow$ Asume que $X$ es de infinitas dimensiones. Para mostrar que, a continuación, $T_{norm} \neq T_{débil}$ es suficiente para encontrar un conjunto cerrado en una de las dos topologías pero no en el otro. Tenga en cuenta que $S := \{x \X \mid \|x\| = 1 \}$ es cerrado en $T_{norm}$. Pero es que no se cierra en $T_{débil}$ desde $0$ es en la debilidad de cierre de $S$: Vamos a $U$ ser cualquier barrio de de $0$ en $T_{débil}$. Entonces existe un conjunto abierto $O$ tal que $0 \O \subconjunto de U$. Sabemos que $\bigcup_{\varepsilon>0, r_0 \in \mathbb R} \{ \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(r_0, \varepsilon)) \mediados n \in \mathbb N \}$ formularios de un barrio base de $T_{débil}$. Por lo tanto, no existe $f_1, \dots f_n \X^\ast, \varepsilon > 0, r \in \mathbb R$ tales que $0 \in O = \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(r, \varepsilon))$.

Ahora vamos a definir un mapa de $\varphi : X \to \mathbb R^n$, $x \mapsto (f_1(x), \dots, f_n(x))$. Este mapa es lineal. Por lo tanto $\operatorname{dim}{X} = \operatorname{dim}{\ker \varphi} + \operatorname{dim}{\operatorname{im}{\varphi}}$. Sabemos que su imagen se ha dimensión en más de $n$ así desde $X$ tiene dimensión infinita sabemos que su núcleo tiene dimensión infinita. En particular, se puede encontrar un valor de $x$ en $X$ tales que $x \neq 0$ y $f_i(x) = 0$ para todo $i \in \{1, \dots n\}$, es decir, $\varphi (x) = 0$. Desde $\varphi$ es lineal también tenemos $\varphi (\lambda x) = 0$ para todo $\lambda \in \mathbb R$, en particular, por $\lambda = \frac{1}{\|x\|}$. Por lo tanto hemos encontrado un punto de $\frac{x}{\|x\|}$ es $S$ y también en el barrio de $U$ de $0$. Desde el barrio de $U$ era arbitraria, obtenemos que $0$ es en la debilidad de cierre de $S$.

$\Longleftarrow$ Deje que $X$ es finito dimensional. Dado que, por definición, siempre tenemos $T_{débil} \subconjunto T_{norm}$ es suficiente para mostrar que toda bola abierta de $B_{\|\cdot\|}(x_0, \varepsilon)$ es débilmente abierto. Dado que $X$ es finito dimensional, podemos escribir cada $x$ en $X$ $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$ donde $e_i$ es la base de $X$. Definir $f_i : X \to \mathbb R$ como $f_i : x \mapsto x_i$. Entonces $f_i$ en $X^\ast$. También desde $X$ es finito dimensionales, todas las normas en $X$ son equivalentes y, por tanto, es suficiente para demostrar que $B_{\|\cdot\|_\infty}(x_0, \varepsilon)$ es débilmente abierto. Pero que es claro, ya que

$$B_{\|\cdot\|_\infty}(x_0 , \varepsilon ) = \{x \X \mid \max_i |x_i-x_{0i}|< \varepsilon \} = \{x \X \mid \max_i |f_i(x-x_0)| < \varepsilon \} = \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(x_{0i}, \varepsilon))$$

Answer 2

Rápida búsqueda en Google me llevó a el papel de Sidney A. Morris: Un grupo topológico de la caracterización de los localmente convexo en los espacios con su topología débil; Mathematische Annalen, Tomo 195, Número 2 (1971), 330-331, DOI: 10.1007/BF01423619. El siguiente resultado se da en este documento:

Teorema. Vamos a $E$ ser localmente convexo Hausdorff real espacio vectorial topológico. Entonces $E$ tiene su topología débil si y sólo si cada subgrupo discreto (de la aditivo estructura de grupo) de $E$ es finitely generado.

La prueba se basa en un resultado en el papel Sidney A. Morris: Localmente Compacto Abelian Grupos y la Variedad Topológica de los Grupos Generados por los Reales; las Actas de la Sociedad Matemática Americana, Vol. 34, Nº 1 (Jul., 1972), pp 290-292; DOI: 10.1090/S0002-9939-1972-0294560-4.

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Agregado: (t.b.) He aquí un bosquejo del argumento:

1. Suponga que $E$ tiene la topología débil, y que $\Gamma \subconjunto de E$ es un subgrupo discreto de aditivos de grupo. Entonces existe un entorno $U$ de $0\in E$ tal que $U \cap \Gamma = \{0\}$. En otras palabras, hay lineal continua funcionales $\varphi_1,\dots, \varphi_n$ y $\varepsilon \gt 0$ tal que $\{0\} = \Gamma \cap \{x \in E\,:\,\max_{i} |\varphi_i (x)| \lt \varepsilon\}$. Pero esto significa que $\gamma \mapsto (\varphi_1(\gamma),\dots,\varphi_n (\gamma))$ es inyectiva mapa de $\Gamma$ a un subgrupo discreto de $\mathbb{R}^n$, y la discreción de los subgrupos de $\mathbb{R}^n$ son finitely generado.

2. Supongamos que $E$ no no tiene la topología débil. Entonces la topología en $E$ es estrictamente más fina que la topología débil, por lo tanto, no es simétrica, convexo abierto barrio $U$ de $0 \in E$ que no es un barrio de de $0$ en la topología débil, por lo que $U$ no puede contener cualquier subespacio lineal finito de co-dimensión. El funcional de Minkowski (calibre) de $U$ por lo tanto define un continuo norma $\|\cdot\|$ en algunos infinito-dimensional subespacio $F$ de $E$. Un clásico argumento de Mazur (ver, por ejemplo, Lindenstrauss–Tzafriri Teorema 1.una.5, y Albiac–Kalton, Teoremas 1.4.4, 1.3.9 y 1.3.10), a continuación, nos ofrece una secuencia básica de $F$, que podemos suponer que (después de cambiar la norma a un equivalente de uno si es necesario) a ser monótona secuencia básica $(x_n)_{n=1}^\infty$. La monotonía requisito implica que el subgrupo generado por $(x_n)_{n=1}^\infty$, es discreta y la independencia lineal implica que es infinitamente generado.

Answer 3

Para un número finito de dimensiones de espacio vectorial no es sólo una topología que lo convierte en un espacio vectorial topológico, por lo que la debilidad de la topología y de la topología inicial son necesariamente de la misma.

Para un infinito dimensional localmente convexo espacio vectorial topológico T con doble T' este no es el caso (edit: en realidad no estoy seguro acerca de esto, véase más abajo), si la topología inicial es la topología de Mackey.

El Mackey-Arens teorema dice que todas las topologías coherente con una determinada dualidad T, T' son comparables:

• La topología débil es el más débil, es la topología de pointwise convergencia.

• La topología de Mackey se define para ser el más fuerte, es la topología de la convergencia uniforme en cada absolutamente convexo, débilmente compacto.

Puesto que T es infinito dimensional, podemos elegir una secuencia de $(x_n), n \in \mathbb{N}$, de pares diferentes vectores que son parte de una expresión algebraica base de T. Esta secuencia converge a 0 en la topología débil (edit: llegando a pensar de ella, no sé que esto es cierto o cómo probar o refutar. Pero no voy a borrar la respuesta, tal vez alguien más puede mejorar :-), pero no en la topología de Mackey. Podemos comprobar esto mediante la polar $A^°$ de $\{x_n, n \in \mathbb{N} \}$, (lo cual es absolutamente convexo y débilmente compacto, por lo que $(x_n)$ tendría que convergen a 0 en este conjunto, que obviamente no).