Me gustaría añadir que si suponemos que X a ser una normativa espacio vectorial (más de \mathbb R), entonces tenemos
T_{norm} = T_{débil} si y sólo si X es finito dimensionales. A ver por qué este es el caso de:
\Longrightarrow Asume que X es de infinitas dimensiones. Para mostrar que, a continuación, T_{norm} \neq T_{débil} es suficiente para encontrar un conjunto cerrado en una de las dos topologías pero no en el otro. Tenga en cuenta que S := \{x \X \mid \|x\| = 1 \} es cerrado en T_{norm}. Pero es que no se cierra en T_{débil} desde 0 es en la debilidad de cierre de S: Vamos a U ser cualquier barrio de de 0 en T_{débil}. Entonces existe un conjunto abierto O tal que 0 \O \subconjunto de U. Sabemos que \bigcup_{\varepsilon>0, r_0 \in \mathbb R} \{ \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(r_0, \varepsilon)) \mediados n \in \mathbb N \} formularios de un barrio base de T_{débil}. Por lo tanto, no existe f_1, \dots f_n \X^\ast, \varepsilon > 0, r \in \mathbb R tales que 0 \in O = \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(r, \varepsilon)).
Ahora vamos a definir un mapa de \varphi : X \to \mathbb R^n, x \mapsto (f_1(x), \dots, f_n(x)). Este mapa es lineal. Por lo tanto \operatorname{dim}{X} = \operatorname{dim}{\ker \varphi} + \operatorname{dim}{\operatorname{im}{\varphi}}. Sabemos que su imagen se ha dimensión en más de n así desde X tiene dimensión infinita sabemos que su núcleo tiene dimensión infinita. En particular, se puede encontrar un valor de x en X tales que x \neq 0 y f_i(x) = 0 para todo i \in \{1, \dots n\}, es decir, \varphi (x) = 0. Desde \varphi es lineal también tenemos \varphi (\lambda x) = 0 para todo \lambda \in \mathbb R, en particular, por \lambda = \frac{1}{\|x\|}. Por lo tanto hemos encontrado un punto de \frac{x}{\|x\|} es S y también en el barrio de U de 0. Desde el barrio de U era arbitraria, obtenemos que 0 es en la debilidad de cierre de S.
\Longleftarrow Deje que X es finito dimensional. Dado que, por definición, siempre tenemos T_{débil} \subconjunto T_{norm} es suficiente para mostrar que toda bola abierta de B_{\|\cdot\|}(x_0, \varepsilon) es débilmente abierto. Dado que X es finito dimensional, podemos escribir cada x en X x = \sum_{i=1}^n x_i e_i donde e_i es la base de X. Definir f_i : X \to \mathbb R como f_i : x \mapsto x_i. Entonces f_i en X^\ast. También desde X es finito dimensionales, todas las normas en X son equivalentes y, por tanto, es suficiente para demostrar que B_{\|\cdot\|_\infty}(x_0, \varepsilon) es débilmente abierto. Pero que es claro, ya que
B_{\|\cdot\|_\infty}(x_0 , \varepsilon ) = \{x \X \mid \max_i |x_i-x_{0i}|< \varepsilon \}
= \{x \X \mid \max_i |f_i(x-x_0)| < \varepsilon \}
= \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1} (B(x_{0i}, \varepsilon))