¿cuál es la ecuación de la hélice de superficie?

Question

Sé que para la hélice, la ecuación puede ser escrita: $$x=R\cos(t)$$ $$y=R\sin(t)$$ $$z=ht$$ esta es la curva de la hélice, y hay dos parámetros: radio exterior $R$ y la longitud del campo $2\pi h$. Sin embargo, me gustaría generar el 3D helix con otra radio menor $r$. Esta no es la hélice de la curva, pero un objeto en 3D a algo como la primavera. No sé exactamente el nombre de dicha estructura, pero cuando la búsqueda de la hélice ecuación, que suelen dar las ecuaciones para la hélice de la curva, pero no por el 3D helix objeto (la primavera). ¿Alguien sabe la ecuación de tal objeto? Muchas gracias por la ayuda y sugerencias.

ps. la forma se parece a la siguiente manera:

Answer 1

Podemos utilizar un local ortonormales base de una parametrización de la curva para obtener una superficie del tipo deseado.

Una hélice corriendo alrededor de la $x$-eje tiene una parametrización como $$ \vec{r}(t)=(ht,R\cos t, R\sen t). $$ Su vector tangente puede ser conseguido mediante la diferenciación de $$ \vec{t}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=(h,-R\sen t,R\cos t). $$ Se nota que este tiene longitud constante $\sqrt{h^2+R^2}$. Con un carácter más general de la curva de esto no es necesariamente el caso, y nos sería normalizar esta a la unidad de longitud y la posición natural mediante el parámetro de $s=$ de la longitud del arco. Esta vez $ds/dt=\sqrt{h^2+R^2}$, y que podemos seguir utilizando $t$ mientras recordamos a normalizar.

Tenemos un (local) normal $\vec{n}(t)$ vector mediante la diferenciación de la (normalizada) de la tangente $$ \vec{n}(t)= \frac{\frac{d\vec{t}}{dt}}{\left\Vert\frac{d\vec{t}}{dt}\right\Vert}=(0,-\cos t,-\sen t). $$ Como el nombre sugiere que este es ortogonal al vector tangente (en la dirección del cambio de la tangente). El tercera base de vectores es la binormal $$ \vec{b}(t)=\frac1{\Vert\vec{t}\Vert}\vec{t}\times\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2}}(R,h\sen t,-h\cos t). $$ Este es, por supuesto, ortogonal a ambos $\vec{t}$$\vec{n}$.

La clave es que tenemos la superficie deseada por el dibujo (3D)círculos con la dirección del eje determinado por la dirección de la curva, es decir, la tangente. Equivalentemente, podemos dibujar un círculo de radio $a$ en el plano generado por $\vec{n}$$\vec{b}$. Por lo tanto tenemos toda la superficie de la $S$ parametrizadas como $$ S(t,u)=\vec{r}(t)+\vec{n}(t)\cos u+\vec{b}(t)\pecado u $$ con $t$ van más de tantos bucles como usted desea, y $u$ oscila en el intervalo de $[0,2\pi]$.

Aquí es lo que Mathematica-salida parece que con los parámetros de $h=1$, $R=3$, $a=0.4$:

Aquí está el efecto del cambio en $a=1.0$. Las líneas en la superficie corresponden a valores constantes de $t$$u$. Estos son ahora más claramente definido.