Demostrar la trigonometría identidad para $\cos A+\cos B+\cos C$

Question

Pido humildemente para ayudar en el siguiente problema.

Si \begin{equation} A+B+C=180 \end{equation} Luego de probar \begin{equation} \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2) \end{equation} ¿Cómo puedo comenzar el problema quiero decir $\cos C $$\cos(180-A+B)$. Pero yo no estoy seguro de qué hacer a continuación.

Answer 1

Su observación de que $C=180^\circ-(A+B)$ es buena. Recordemos también las siguientes identidades trigonométricas: $$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$$ $$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$$ Por LHS, voy a denotar la expresión en el lado izquierdo de la identidad; por la IZQUIERDA, la expresión en el lado derecho.

Ahora, el lado derecho es desordenado, así que empezaremos por ahí. Primero vamos a aplicar su observación a $\sin(C/2)$, junto con el ángulo de la diferencia y la suma de las fórmulas para el seno, y la suma de ángulos fórmula para el coseno, para ver que

$\begin{eqnarray*} \sin(C/2) & = & \sin\bigl(90^\circ-(A+B)/2\bigr)\\ & = & \sin 90^\circ\cos\bigl((A+B)/2\bigr)-\cos 90^\circ\sin\bigl((A+B)/2\bigr)\\ & = & \cos(A/2+B/2)\\ & = & \cos(A/2)\cos(B/2)-\sin(A/2)\sin(B/2), \end{eqnarray*}$

desde $\sin 90^\circ=1$$\cos 90^\circ=0$. Así, vemos que

$$\mathrm{RHS} = 1+4\sin(A/2)\cos(A/2)\sin(B/2)\cos(B/2)-4\sin^2(A/2)\sin^2(B/2)\tag{1}$$

Recordemos también el doble ángulo de fórmulas para el seno (un caso especial de la suma de ángulos con $x=y$): $$\sin(2x)=2\sin x\cos x.$$

También, el Pythogorean de la identidad y de la suma de ángulos fórmula para el coseno (con $x=y$) nos da la siguiente doble ángulo fórmula para el coseno: $$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x,$$ from which we derive the identity $$2\sin^2x=1-\cos(2x).$$ Applying this identity, along with the double angle and angle sum formulas for sine, to $(1)$ nos da

$\begin{eqnarray*} \mathrm{RHS} & = & 1+\bigl(2\sin(A/2)\cos(A/2)\bigr)\bigl(2\sin(B/2)\cos(B/2)\bigr)-\bigl(2\sin^2(A/2)\bigr)(2\sin^2(B/2)\bigr)\\ & = & 1+\sin A\sin B-(1-\cos A)(1-\cos B)\\ & = & \cos A + \cos B - \cos A\cos B+\sin A\sin B\\ & = & \cos A + \cos B - \cos(A+B). \end{eqnarray*}$

En este punto, se puede aplicar la observación, de nuevo, junto con la diferencia de ángulo de la fórmula para el coseno, para ver que

$\begin{eqnarray*} \mathrm{LHS} & = & \cos A + \cos B + \cos 180^\circ\cos(A+B)-\sin 180^\circ\sin(A+B)\\ & = & \cos A + \cos B - \cos(A+B), \end{eqnarray*}$

desde $\cos 180^\circ=-1$$\sin 180^\circ=0$. Por lo tanto, LHS = RHS, como se desee.

Answer 2

Lo que yo podría hacer es empezar con el lado derecho. Ya no recuerdo la mitad de ángulo fórmulas, vamos $a = A/2$, $b=B/2$. Tenga en cuenta que (a partir de la incorporación de fórmulas para $\cos$) $\sin(x) \sin(y) = (\cos(x-y) - \cos(x+y))/2$, $\cos(x) \cos(y) = (\cos(x+y) + \cos(x-y))/2$, $\sin(90 - x) = \cos(x)$.

$$ \eqalign{1 &{}+ 4 \sin(un) \sin(b) \sin(90 - a - b)\cr = & 1 + 2 (\cos(a-b) - \cos(a+b)) \cos(a+b) \cr = & 1 + \cos(2a) + \cos(2b) - \cos(2a+2b) - \cos(0)\cr = & \cos(2a) + \cos(2b) + \cos(180 - 2a - 2b)\cr} $$

Answer 3

$\cos A+\cos B+\cos C$

$=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2}$ $\cos2x=1-2\sin^2x$

Ahora $\cos\frac{A+B}{2}=\cos\frac{180^\circ - C}{2}=\cos(90^\circ-\frac{C}{2})=\sin\frac{C}{2}$

Por eso, $\cos A+\cos B+\cos C$ hace $2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^2\frac{C}{2}$

$=1+2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}-\sin\frac{C}{2})$

$=1+2\sin\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2})$ sustitución de $\sin\frac{C}{2}$ $\cos\frac{A+B}{2}$

$=1+2\sin\frac{C}{2}(2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2})$ aplicación $\cos(x-y)-\cos(x+y)= 2 \sin x \sin y$

$=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$