Bueno, tengo una bastante simple (probablemente tonto y básica) duda acerca de ¿cómo podemos describir las funciones de un Colector. Bueno, sólo para dejar en claro que las definiciones que estoy usando, por ahora lo que sabemos es que: topológico, el colector es un espacio métrico $M$ tal que para cada una de las $p\in M$ existe un entero $n$ $n \geq 0$ tal que nos podemos encontrar en un barrio de $p$ homeomórficos a $\Bbb R^n$. Un gráfico para un colector $M$ es un par $(x,U)$$U\subset M$$x : U \to \Bbb R^n$, si los dos gráficos de superposición suavemente nos dicen que son $C^\infty$ relacionado y una colección de $C^\infty$ relacionadas con los gráficos es un atlas de las $M$. En ese entorno, una suave colector es un par $(M,\mathcal{A})$ donde $M$ es topológico, colector y $\mathcal{A}$ es una máxima atlas de las $M$.
Así que, si me entiende, proporcionando un gráfico de $(x,U)$ a un colector $M$ es una manera de introducir "coordenadas" en la $M$. De hecho, si $I : \Bbb R^n\to \Bbb R$ es la función identidad definimos $x^i = I^i \circ x$ "$i$- ésima función de las coordenadas" en la $U$. En ese caso, para cada una de las $p \in U$ tenemos las coordenadas $(x^1(p), \cdots, x^n(p))$ y si he entendido correctamente, esta es una manera que nos permita llevar a espacios abstractos de la habitual nociones de análisis sobre $\Bbb R^n$ (por supuesto, en un ambiente refinado, de modo que se ajusta a la generalidad de la situación).
Ahora, la verdadera pregunta: todo esto me llevó a una duda - ¿cómo podemos describir las funciones de un colector? Bien, esta pregunta puede parecer extraño, pero hay un punto que, si trabajamos con $\Bbb R^n$, entonces cada una de las $a \in \Bbb R^n$ $n$- tupla de reales $a = (a^1,\dots, a^n)$, por lo que podemos describir las funciones de $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ mediante la combinación de las funciones definidas en $\Bbb R$ que se aplica en cada una de las $a^i$. De hecho, tenemos la identidad de $I^i(a) = a^i$, y así podemos definir fácilmente por ejemplo $f : \Bbb R^2 \to \Bbb R$ por:
$$f = \sin \circ I^1 - \sqrt{(I^1)^2 - (I^2)^2}$$
Ahora en un punto de $(a,b) \in \Bbb R^2$ tendríamos entonces:
$$f(a,b)= \sin(I^1(a,b))-\sqrt{(I^1(a,b))^2-(I^2(a,b))^2}=\sin a-\sqrt{a^2+b^2}$$
Así, para definir la función de $f(x,y)=\sin x - \sqrt{x^2+y^2}$ simplemente podemos combinar las funciones de $\Bbb R$ $\Bbb R$el uso de las funciones de los componentes de la identidad de la función. Mi entendimiento es: sabemos cómo construir funciones de $\Bbb R^n$ $\Bbb R$porque nos implícitamente la construcción de estas combinaciones de funciones construidas en $\Bbb R$ y los componentes de $I$.
Ahora, en una arbitraria colector, los puntos no son necesariamente $n$-tuplas de números. El plano proyectivo por ejemplo, es el conjunto de todas las líneas a través de el origen de las $\Bbb R^n$, por lo que aunque los gráficos proporcionan $n$-tuplas para cada punto, cada punto no es en sí mismo una $n$-tupla, por lo que la construcción de funciones de una arbitraria colector de a $\Bbb R$ no sería simplemente como eso.
Pero ahora aquí viene mi entendimiento: tan sólo tenemos que utilizar la de coordinar las funciones, exactamente a trabajar como lo hacemos en $\Bbb R^n$! Por ejemplo, supongamos que $M$ es un buen colector de dimensión $2$ y $(x,U)$ es un gráfico, en el caso de $x : U \to \Bbb R^2$ y tenemos dos coordinar las funciones de $x^1 = I^1 \circ x$$x^2 = I^2 \circ x$, y con esto se puede expresar cualquier función de $f : U \to \Bbb R^2$ simplemente por la combinación de $x^1$ $x^2$ con la costumbre de las funciones definidas en $\Bbb R$! Por ejemplo:
$$f=\sin \circ x^1 - \cos \circ x^2$$
Así que, dado $p \in U$ tendríamos $f(p) = \sin(x^1(p)) - \cos(x^2(p))$ que a nosotros nos gustaría saber cómo calcular.
Así que esto es correcto? Realmente es de esta manera que por lo general podemos establecer funciones arbitrarias de los colectores? Es esta la manera correcta de usar los gráficos en un colector para trabajar con él?
Muchas gracias de antemano!
