Números libres consecutivos no cuadrados

Question

Estaba pensando en resolver esto mediante programas informáticos pero prefiero una solución.

¿Cómo obtener una lista de 3 enteros positivos consecutivos no cuadrados? En general, ¿cómo obtener el mismo tipo de lista con $k$ ¿elementos? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $n$ sea el primer número. Funcionará si podemos arreglar lo siguiente: $$ n\equiv 0\pmod{4} $$ $$ n+1\equiv 0\pmod{9} $$ $$ n+2\equiv 0\pmod{25} $$ Utilizando el Teorema chino del resto las dos primeras congruencias equivalen a exigir que $n\equiv 8 \pmod{36}$ . Combinando esto con la tercera congruencia se obtiene que $n\equiv 548\pmod{900}$ . Así, tres de estos números son $548$ , $549$ y $550$ .

Un algoritmo similar funciona para $k$ números consecutivos sin cuadrado.

Answer 2

$48 = 3 \times 2^4,49 = 7^2,50 = 2 \times 5^2$ sería el primer ejemplo de una secuencia con $3$ números consecutivos. Lo encontré simplemente mirándolos todos hasta encontrar el primero. Dado cualquier conjunto de números coprimos distintos $a_1, \dots, a_k$ el Teorema del Resto Chino nos asegura la existencia de una solución para $n + i \equiv 0 \pmod {a_i}$ , lo que le da al menos la existencia de alguna posibilidad grande para una secuencia de enteros consecutivos no cuadrados.

Para la información, los primeros enteros libres no cuadrados consecutivos que encontré fueron $(8,9)$ , $(24,25)$ y $(44,45)$ . Entonces encontré $(48,49,50)$ . Obsérvese que se pueden generar fácilmente infinitos triples de este tipo de la siguiente manera: Como los divisores primos de $(48,49,50)$ que son las partes cuadradas de ellos son $2,5,7$ , entonces el triple ( $48 + k(2\times 5 \times 7)^2$ , $49 + k(2 \times 5 \times 7)^2$ , $50 + k (2 \times 5 \times 7)^2$ ) es también una secuencia de tres números libres consecutivos no cuadrados ( $k \in \mathbb N$ ).

Espero que eso ayude,

Answer 3

Ver http://oeis.org/A045882 y las referencias que allí se dan.