¿Por qué no todas las categorías pequeñas accesible?

Question

Estoy tratando de comprender la noción de un accesibles categoría. Esta no es la primera vez que he tratado de hacer esto; pero cada vez que trato de hacer sentido de la definición, puedo ser perturbado por el siguiente problema: no todos los pequeños de la categoría es accesible.

Usted puede encontrar una definición de accesibilidad de la categoría en nLab. En breve un (posiblemente grande) categoría C es accesible si hay una regular el cardenal $\kappa$ tales que C tiene $\kappa$-dirigido colimits, y de que hay un conjunto de $\kappa$-objetos compactos, de modo que cada objeto C es un $\kappa$-dirigido colimit de las cosas en este conjunto. Por lo tanto, el comportamiento de la categoría C es de alguna manera "controlada" por una pequeña subcategoría; en términos generales, a todos los objetos de C "parezca" filtrado colimits de los objetos en el pequeño subcategoría.

Cualquier categoría pequeña del curso es "controlado" por un pequeño subcategoría, es decir, en sí mismo, por lo que se podría pensar que todas las categorías pequeñas son accesibles. No se muy bien! La afirmación correcta es:

Una pequeña categoría es accesible si y sólo si a es idempotente completa

Prueba de ello es (creo) en el Adamek Y Rosicki, Localmente Presentable y Accesible Categorías. También hay una prueba de un $\infty$-categoría de versión de este en Lurie Mayor Topos de la Teoría.

Mi pregunta no es acerca de la prueba de esta afirmación (que yo creo entender), pero acerca de la motivación subyacente a la noción de accesibilidad de la categoría. Básicamente, me gustaría una de dos cosas:

1. Me hacen entender por qué es una buena cosa que no todos los pequeños de la categoría es accesible, o

2. Me dicen que "accesible categoría de" no es exactamente la idea de derecho, y que hay una generalización de lo que incluye todas las categorías pequeñas un caso especial.

(Nota: la clase de acceso a las categorías es cerrado bajo un montón de construcciones, tales como la toma de undercategories, o la toma de functors desde un fijo categoría pequeña. La generalización de los 2 debe tener las mismas propiedades.)

Answer 1

Para mí, el "obvio" adivinar (2) sería una categoría cuya idempotente de división de la finalización (también conocido como "de Cauchy terminación" o "Karoubi sobre") es accesible. Aunque no tengo una explícita contraejemplo, dudo que estos tienen las mismas buenas propiedades. Las dos propiedades que mencionas son casos especiales de cierre bajo pseudo-límites, pero la pseudo-límite de una Karoubi de la envolvente no es en general el mismo que el Karoubi de la envolvente de la pseudo-límite. Por ejemplo, supongamos $C$ ser el "caminar split idempotente", que contiene dos objetos de $x$ y $y$ con $y$ a retractarse de $x$, deje que $F,G\colon C\a$ enviar $x$ a $S$ y $y$ a un subconjunto no vacío de $T\subseteq S$ con un elegido de retracción $S\T$, y dejar que $\alpha,\beta\colon F\G$ ser natural transformaciones que son iguales en $S$, pero no en todos los de $T$. A continuación, el equifier de $\alpha$ y $\beta$ compone sólo de $y$, mientras que si $C'\subseteq C$ contiene sólo $x$, entonces el equifier de $\alpha$ y $\beta$ restringido a $C'$ es vacío.

Una respuesta a (1) es considerar algunas de las otras caracterizaciones de acceso a las categorías. Por ejemplo, una categoría es accesible iff:

• esta es la categoría de $\kappa$-plana functors de algunos pequeños categoría de Conjunto (por unos $\kappa$), o el fib
• esta es la categoría de modelos en Conjunto de un pequeño sketch, o el fib
• esta es la categoría de modelos en Conjunto de una adecuada lógica de la teoría.

Estos tipos de categorías claramente siempre se han dividido idempotents.

Answer 2

Estas son sólo algunas ideas a medio cocinar, lo que podría ser totalmente fuera de la pista, y yo tengo un poco de prisa. Pero de todos modos, alimento para el pensamiento.

Para ese tipo de preguntas es muy importante seguir la pista al mismo tiempo de lo que los morfismos (naturales y transformaciones). Como Charles dice en un comentario, el estándar de morfismos entre accesibles categorías son accesibles functors. Supongo que el acceso a la functors entre las pequeñas accesible categorías son todos los functors, ya que las pequeñas accesible categorías son las idempotente completa de las categorías y todos los functors preservar retrae. También creo que functors de la C a la D, donde D es idempotente completa, son los mismos que functors de la idempotente finalización de C a D.

Si eso es verdad, entonces, podríamos decir que, de hecho, todas las categorías pequeñas son accesibles–siempre que nos redefinir la noción de un accesibles functor de C a D como un accesibles functor en el sentido ordinario entre sus idempotente terminaciones. Esto suena artificial, pero el ordinario de la definición de acceso functor no parece muy bueno cuando el dominio no tiene κ-filtrada colimits para cada κ, así que tal vez hay otro punto de vista sobre esta definición que generaliza a la definición en términos de idempotente terminaciones. Por ejemplo, es un functor entre el idempotente el contenido de C y D (categorías pequeñas) de la misma como un functor de presheaves en D a presheaves en C que tiene adjoints en ambos lados?

Answer 3

Una propiedad esencial accesible categorías es que si $C$ es $\kappa$-accesible a continuación también es $\lambda$-accesible para muchos $\lambda > \kappa$ en una manera que es esencialmente independiente de $C$. (La caracterización de tales pares $\kappa\lambda$ es complicado, ver Adamek Y Rosicky para más detalles.) Esta es la razón por la particular al cardenal $\kappa$, el cual verifica la accesibilidad es en muchos aspectos irrelevantes. Esta propiedad no mal sin la existencia de adecuados dirigida colimits.

Answer 4

Esta no es realmente una fulll respuesta, pero hay un obvio adivinar por (2). Considere la posibilidad de las categorías para las que no existe un cardenal de $\kappa$ y un conjunto de $\kappa$-objetos compactos de tal forma que cada objeto es un $\kappa$-dirigido colimit de las cosas en este conjunto. Sólo eliminar el requisito de que cada $\kappa$-dirigido colimit existe. Esto incluye, en particular, todas las categorías pequeñas.

Parece que esta clase tiene las propiedades que usted ha mencionado. Hay otras buenas propiedades que el acceso a las categorías tienen que esta clase no?

Answer 5

En un accesibles categoría idempotents split (el habitual coker $Cok(1, f)$ para dividir un idempotente $f$ es un colimit de un filtrant diagrama). Y cualquier categoría de pequeña fracción de idempotents es accesible.

Ver: p. 71 (punto 2.4, 2.6) en

J. Adamek y J. Rosicky, Localmente Presentable y Accesible Categorías de Cambridge: Cambridge University Press, 1994