$P[X=x]=0$ al $X$ es variable continua

Question

Sé que para la variable continua $P[X=x]=0$.

Pero no puedo visualizar que si $P[X=x]=0$, hay un número infinito de posibles $x$'s. Y también por qué sus probabilidades de obtener infinitamente pequeño ?

Answer 1

Las probabilidades son modelos para las frecuencias relativas de las observaciones. Si un evento $A$ se observa que se han producido $N_A$ veces $N$ ensayos, entonces su la frecuencia relativa es $$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$$ y se cree generalmente que el valor numérico de la anterior relación de es una aproximación cercana a $P(A)$ al $N$ es "grande" , donde lo que se quiere decir por "grande" es mejor dejar a la imaginación (y la credulidad) de el lector.

Ahora, se ha observado que si nuestro modelo de $X$ es la de un continuo variable aleatoria, entonces las muestras de $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ son $N$ distintos números. Por lo tanto, la frecuencia relativa de un determinado número de $x$ (o, más pedantically, el evento$\{X = x\}$) $\frac 1N$ si uno de los $x_i$ valor $x$ o $\frac 0N$ si todas las $x_i$ son diferentes de $x$. Si el más escéptico lector cobra un adicional $N$ de las muestras, la frecuencia relativa del evento $\{X=x\}$ es $\frac{1}{2N}$ o sigue disfrutando de el valor de $\frac 0N$. Por lo tanto, uno se siente tentado a adivinar que $P\{X = x\}$ se debe asignar el valor de $0$ ya que es una buena aproximación a la observada frecuencia relativa.

Nota: la explicación anterior es (generalmente) satisfactorio para los ingenieros y otros interesados en la aplicación de la probabilidad y la estadística (es decir, aquellos que creen que los axiomas de probabilidad fueron elegidos para hacer de la teoría un buen modelo de la realidad), pero totalmente insatisfactorio para muchos otros. También es posible acercarse a su pregunta de un puramente matemáticos o estadísticos perspectiva y demostrar que $P\{X = x\}$ debe tener el valor de $0$ siempre $X$ es una variable aleatoria continua a través de deducciones lógicas a partir de los axiomas de la probabilidad, y sin ningún tipo de referencia a la frecuencia relativa o observaciones físicas, etc.

Answer 2

Deje $(\Omega,\mathscr{F},P)$ la probabilidad subyacentes espacio. Decimos que una función medible $X:\Omega\to\mathbb{R}$ es absolutamente una variable aleatoria continua si la medida $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ definido por $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$, conocido como la distribución de $X$, está dominado por la medida de Lebesgue $\lambda$, en el sentido de que para cada conjunto de Borel $B$ si $\lambda(B)=0$,$\mu_X(B)=0$. En este caso, el Radon-Nikodym teorema nos dice que hay un medibles $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, definidas en casi todas partes de equivalencia, de tal manera que $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$. Deje $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ ser una contables subconjunto de $\mathbb{R}$. Desde $\lambda$ es countably aditivo, $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$. Pero $$ \lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\carpeta cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*) $$ para cada $n\geq 1$. Debido a la Arquímedes propiedad de los números reales, ya que $\lambda(\{x_i\})\geq 0$, la desigualdad de $(*)$ es válido para cada $n\geq 1$ si y sólo si $\lambda(\{x_i\})=0$, lo que implica que $\lambda(B)=0$. Desde el supuesto de la continuidad absoluta de $X$ se sigue que $\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$.

Answer 3

$X$ es una variable aleatoria continua significa que su función de distribución de $F$ es continua. Esta es la única condición que tenemos, pero de la que podemos derivar que $P(X = x) = 0$.

De hecho, por la continuidad de $F$, $F(x) = F(x-)$ por cada $x \in \mathbb{R}^1$, por lo tanto: $$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$$