¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar que $\cos(r \pi)$ es irracional si $r$ es racional y $r \in (0,1/2)\setminus\{1/3\}$?

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar que $\cos(r \pi)$ es irracional si $r$ es racional y $\displaystyle r \in \left(0,\frac{1}{2} \right)\setminus \left\{\frac{1}{3} \right\}$?

He demostrado que el uso de la siguiente secuencia $x_1 = \cos(r \pi)$; $x_{k} = 2 x_{k-1}^2-1$ y la periodicidad de la función coseno. ¿Hay alguna prueba que se basa en la definición de los números racionales y trigonométricas identidades? Gracias!

Answer 1

Vamos a tratar de rescatar a otro pobre pregunta de Preguntas sin respuesta' inferno, siguiendo el comentario por Qiaochu:

para $\,\,\displaystyle{r=\frac{m}{n} \in\mathbb Q}\,\,\,$ obtenemos que $\,\,\,2\cos r\pi:=e^{ri\pi}+e^{-ri\pi}\,\,$ , y desde $\,\,1=e^{2mi\pi}=\left(e^{ri\pi}\right)^{2n}\,\,$ hemos

que $\,2\cos r\pi\,$ es un entero algebraico (como se satisface un número entero monic polinomio), así que si también se

racional que tendría que ser un número entero (que no se si $\,\displaystyle{r\notin \mathbb Z\,,\,\frac{1}{2}\mathbb Z}\,$), por lo que debe ser irracional.