Es bien sabido que Euler calculó los valores de $\zeta(2n)$ para $n>0$ . Sin embargo, es menos conocido que descubrió esencialmente la ecuación funcional de la función zeta de Riemann. Euler se interesó por las sumas divergentes
$$1+2^n+3^n + \dots$$
cuando $n>0$ . Se dio cuenta de que
$$\frac{t}{1+t} = t-t^2+t^3 - \dots$$
así, con $t=1$ encontramos $$1-1+1-1+\dots = \frac{1}{2},$$ una respuesta que por supuesto es muy tonta si tomamos el lado izquierdo literalmente. Pero $1/2$ es, efectivamente, la "media" de las sumas parciales de la izquierda, por lo que quizá no sea una completa tontería. Si continuamos con esta locura encontramos:
$$t\frac{d}{dt}\frac{t}{1+t} = \frac{t}{(1+t)^2} = t - 2t^2 + 3t^3 - \dots$$
y por lo tanto $$1-2+3-\dots = \frac{1}{4}.$$ En general, tenemos
$$\left(t\frac{d}{dt}\right)^n\frac{t}{1+t}\biggr|_{t=1} = 1-2^n+3^n-4^n+\dots.$$
Por otro lado, si ponemos $t=e^x$ entonces $t \frac{d}{dt} = \frac{d}{dx}$ y $t=1$ se convierte en $x=0$ :
$$\frac{d^n}{dx^n}\frac{e^x}{1+e^x}\biggr|_{x=0} = 1-2^n+3^n-4^n+\dots.$$
Ahora para $s>1$ un simple cálculo muestra que
$$1-2^{-s} + 3^{-s} - \dots = (1-2\times 2^{-s})\zeta(s),$$ de ahí que, por analogía, haya definido $\zeta(-n)$ como
$$\zeta(-n):= (1-2^{n+1})^{-1} \frac{d^n}{dx^n}\frac{e^x}{1+e^x}\biggr|_{x=0}$$
Por ejemplo, para $n=1$ encontramos
$$\zeta(-1) = (1-4)^{-1} \frac{1}{4} = -1/12.$$
De todos modos, resulta que $e^x/(1+e^x)$ es esencialmente la función generadora de los números de Bernoulli, y tras algunas manipulaciones sencillas, Euler obtuvo que para $n>1$ ,
$$\zeta(1-n) = -\frac{B_n}{n}.$$
(Nótese de paso que esto revela los "ceros triviales" de la función zeta de Riemann (ya que la impar Números de Bernoulli desaparecer). Por lo tanto, juntando esto con su trabajo sobre los valores $\zeta(2n)$ Euler encontró las siguientes fórmulas explícitas:
$$\zeta(1-2n) = -\frac{B_{2n}}{2n}$$ $$\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}.$$
Esto ya es suficiente para conjeturar la forma que debe tener la ecuación funcional, y Euler tenía todos los ingredientes para ello. Sin embargo, parece que Riemann fue el primero en escribirla explícitamente (y en demostrarla).
(Lo he sacado del libro de Hida Teoría elemental de $L$ -funciones y series de Eisenstein (que está, en su mayor parte, lejos de ser elemental).
