Demostrar que cualquier subcampo de $\mathbb C$ debe contener $\mathbb Q$

Question

Acabo de empezar a leer Álgebra lineal de Hoffman y Kunze, y me encontré con la siguiente línea:

El lector interesado debe comprobar que cualquier subcampo de $\mathbb C$ debe contener todos los números racionales.

Por supuesto, me interesa, así que intenté hacer una prueba. Sólo necesito que se verifique la corrección de mi prueba, y cualquier comentario sobre cómo puedo mejorarla. Así que aquí va.

Prueba

Un subcampo es simplemente un subconjunto de un campo. Un campo $\mathbb F$ debe obedecer los siguientes axiomas:
1. La suma es conmutativa, es decir $x + y = y + x$ para todos $x, y$ en $ \mathbb F$ .
2. La suma es asociativa, es decir $x + (y + z) = (x + y) + z$ para todos $x, y, z$ en $\mathbb F$ .
3. Existe una identidad aditiva única $0$ tal que $x + 0 = x$ para todos $x$ en $\mathbb F$ .
4. Existe un único inverso aditivo $-x$ tal que $x + (-x) = 0$ para todos $x$ en $\mathbb F$ .
5. La multiplicación es conmutativa, es decir $x \cdot y = y \cdot x$ para todos $x, y$ en $\mathbb F$ .
6. La multiplicación es asociativa, es decir $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$ para todos $x, y, z$ en $\mathbb F$ .
7. Existe una identidad multiplicativa única $1$ tal que $x \cdot 1 = x$ para todos $x$ en $\mathbb F$ .
8. Para cada uno de los valores no nulos $x$ en $\mathbb F$ existe un único inverso multiplicativo $x^{-1}$ tal que $x \cdot x^{-1} = 1$ .
9. La multiplicación es distributiva sobre la suma, es decir $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ para todos $x, y, z$ en $\mathbb F$ .
10. Cierre bajo adición, es decir, para todo $x, y$ en $\mathbb F$ , $x + y$ también debe estar en $\mathbb F$ .
11. Cierre bajo multiplicación, es decir, para todo $x, y$ en $\mathbb F$ , $x \cdot y$ también debe estar en $\mathbb F$ .

De lo anterior se deduce que cualquier subcampo $\mathbb F$ de $\mathbb C$ debe contener los elementos $0$ y $1$ (como identidad aditiva y multiplicativa respectivamente). Esto satisface los axiomas $3$ y $7$ . Según nuestra definición axiomática de campos, cualquier subcampo de $\mathbb C$ también debe satisfacer los axiomas $1, 2, 5, 6, 9$ . Para satisfacer el axioma $10$ vemos que $\mathbb F$ debe contener $\mathbb Z^+$ por inducción (no sé cómo demostrarlo). Para satisfacer el axioma $4$ se deduce que $\mathbb F$ debe contener $\mathbb Z^-$ también. De ahí que $\mathbb F$ contiene $\mathbb Z$ . Para satisfacer el axioma $8$ necesitamos incluir todos los escalares de la forma $\frac 1x$ , donde $x \in \mathbb Z \setminus\{0\}$ . Para acomodar el axioma $11$ debemos incluir todos los escalares de la forma $\frac 1x \cdot y$ , donde $x \in \mathbb Z \setminus \{0\}, y \in \mathbb Z$ . Por lo tanto, $\mathbb F$ debe contener $\mathbb Q$ . Ahora se cumplen todos los axiomas y vemos que cualquier subcampo de $\mathbb C$ debe contener al menos $\mathbb Q$ .

Answer 1

Lo que has hecho hasta ahora está bien.

Para demostrar que $\Bbb Z^+$ está en $\Bbb F$ Sólo hay que tener en cuenta que $1\in\Bbb F$ y que $n+1$ está en $\Bbb F$ siempre que $n$ está en $\Bbb F$ (axiomas 7 y 10).