Interesante implícita de las superficies en $\mathbb{R}^3$

Question

He escrito un pequeño programa en C++ y OpenGl para la trama implícita de las superficies en $\mathbb{R}^3$ para un Gráfico de Computación de clase y ahora estoy en la necesidad de la más interesante de las superficies a implementar!

Algunos de los que me han implementado son:

• Superficies básicas como esferas y cilindros;
• Nordstrand Extraño de la Superficie;
• Klein El Cuarto Grado;
• Goursat de la Superficie;
• Superficie Del Corazón;

Entonces, mi pregunta es, ¿cuáles son otras interesantes implícita de las superficies en $\mathbb{R}^3?$

P. S.: sé que esto es una especie de vaga, pero cualquier cosa que encuentre interesante será de uso. (:

P. P. S: Convertir esto en una wiki de la comunidad, si es necesario.

Answer 1

Una muy buena familia de superficies implícitas en $\mathbb{R}^3$ son los Banchoff-Chmutov superficies $$BC_n:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\:\: T_n(x)+T_n(y)+T_n(z)=0\},$$ donde $T_n$ indica $$n-ésimo Chebishev polinomio de primer tipo, es decir, $$T_n(x):=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2\!-\!1)^k x^{n-2k}.$$

• $\leftarrow BC_1\;\;\;$ $BC_2\rightarrow$
• $\leftarrow BC_3\;\;\;$ $BC_4\rightarrow$
• $\leftarrow BC_5\;\;\;$ $BC_6\rightarrow$
• $\leftarrow BC_7\;\;\;$ $BC_8\rightarrow$

¿Cuál es el género de $\mathbf{A.C{2n+2}}$? Código para el trazado de las superficies de $BC_n$ en Mathematica 7:

BanchoffChmutov[n_] := ContourPlot3D[ChebyshevT[n,x]+ChebyshevT[n,y]+ChebyshevT[n,z], {x,-1.3,1.3}, {y,-1.3,1.3}, {z,-1.3,1.3}, Contours->0.02, AspectRatio->Automatic, Boxed->False, Axes->{False,False,False}, BoxRatios->Automatic, PlotRangePadding->None, PlotPoints->30, ViewPoint->{-2,3,3}]
surfacesBCn = Table[BanchoffChmutov[i], {i, 8}]
Table[ChebyshevT[n,x]+ChebyshevT[n,y]+ChebyshevT[n,z], {n, 8}]

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En otros cada vez más bonitos ejemplos, que me las arreglé para la construcción de mí mismo, incluyen:

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\:\: & \pequeño (x-2)^2(x+2)^2+(y-2)^2(y+2)^2+(z-2)^2(z+2)^2+\\ & \pequeño 3(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+6*x*y*z-10(x^2+y^2+z^2)+22=0\} \end{array}$$

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\: & \pequeño ((x-1)x^2(x+1)+y^2)^2+\\ & \pequeño ((y-1)y^2(y+1)+z^2)^2+\\ & \0.1 y^2+0.05(y-1)y^2(y+1)=0\} \end{array}$$

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\: & \pequeño 15((x-1.2)x^2(x+1.2)+y^2)^2+0.8(z-1)z^2(z+1)-0.1 z^2+\\ & \pequeño de 20((y-0.8)y^2(y+0.8)+z^2)^2+0.8(x-1)z^2(x+1)-0.1 x^2=0\} \end{array}$$

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\: & \pequeño ((x^2+y^2-0.85^2)^2+(z^2-1)^2)*\\ & \pequeño ((y^2+z^2-0.85^2)^2+(x^2-1)^2)*\\ & \pequeño ((z^2+x^2-0.85^2)^2+(y^2-1)^2)-0.001=0\} \end{array}$$

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\: & \pequeño (3(x-1)x^2(x+1)+2y^2)^2+(z^2-0.85)^2*\\ & \pequeño (3(y-1)y^2(y+1)+2z^2)^2+(x^2-0.85)^2*\\ & \pequeño (3(z-1)z^2(z+1)+2x^2)^2+(y^2-0.85)^2* -0.12=0\} \end{array}$$

$$\begin{array}{r l} \small \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\:;\: & \pequeño (2.92(x-1)x^2(x+1)+1.7 y^2)^2*(y^2-0.88)^2+\\ & \pequeño (2.92(y-1)y^2(y+1)+1.7 z^2)^2*(z^2-0.88)^2+\\ & \pequeño (2.92(z-1)z^2(z+1)+1.7 x^2)^2*(x^2-0.88)^2 -0.02=0\} \end{array}$$

Espero que las disfrutéis...

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Tenga en cuenta también, que todos estos ejemplos tienen la forma $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\:P(x,y,z)=0\}=P^{-1}(0)$. Son $2$-colectores (superficies). Para ver esto, no sólo con sus ojos, sino también en la teoría, calcular la matriz $$\left[\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial P}{\partial z}\right]$$ en todos los puntos de $P^{-1}(0)$ y averiguar (no he hecho esto por mí mismo) que la matriz es distinto de cero, que por el teorema de la función implícita significa que $P^{-1}(0)$ es un $3-1=2$ colector.

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También, si cambia la definición de $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\:P(x,y,z)=0\}=P^{-1}(0)$ a $$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\:P(x,y,z)\leq 0\}$$ o $$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\:P(x,y,z)\geq 0\},$$ usted consigue $3$-colector (porque $0$ es un valor regular de $P$) con el límite de $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\:P(x,y,z)=0\}$, es decir, la superficie de $P^{-1}(0)$, ya sea con la parte interior o exterior "lleno".

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ADEMÁS de (cómo construir tales superficies): @Soarer, nunca tratar de adivinar tan complicados polinomio. Aquí está la clave para la construcción de dichas superficies: paso a paso. Usted descubrir en la web, que el toro es $$\{P(x,y,z):=(x^2+y^2-0.7^2)^2+ z^2=0\}.$$ A continuación, puede aprender que $$\{P(x-a,y-b,z-c)=0\}$$ es toro, traducido por $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$. También, se observa, que $$\{P(y,z,x)=0\}\text{ y }\{P(z,x,y)=0\}$$ es un toro con coordinar las líneas de permutada (girar 90°) y $$\{P(ax,by,cz)=0\}$$ es un toro, se extendía en dirección x por el factor $1/$, etc. A continuación, vemos que $$\{P(x,y,z)\cdot P(x,y,z)=0\}=\{P(x,y,z)=0\}\cup\{P(x,y,z)=0\}.$$ El uso de todas estas técnicas paso a paso, y ser muy paciente, te las arreglas para descubrir la siguiente construcción

utilizando el código (Mathematica 7):

implicitSurface[p_String, zoom_, quality_Integer, view_List] := 
  ContourPlot3D[ToExpression[p], {x,-zoom,zoom}, {y,-zoom,zoom}, {z,-zoom,
  zoom}, Contours->0.02, Mesh->Automatic, AspectRatio->Automatic, Boxed->
  False, Axes->{False,False,False}, BoxRatios->Automatic, PlotRange->All, 
  PlotRangePadding->None, PlotPoints->quality, ViewPoint->view];
surfaces = {
  implicitSurface["(x^2+y^2-0.7^2)^2+ z^2", 1.2, 10, {0.3, -0.8, 1}],
  implicitSurface["(x^2+y^2-0.7^2)^2+(z^2-1)^2-0.05", 
                   1.2, 10, {1.3, -1.0, 2}],
  implicitSurface["(1.2y^2-1)^2*(x^2+y^2-1^2)^2+
                   (1.2z^2-1)^2*(y^2+z^2-1^2)^2+
                   (1.2x^2-1)^2*(z^2+x^2-1^2)^2-0.02", 
                   1.5, 10, {1.3, -1.0, 1.5}],
  implicitSurface["((x^2+y^2-0.85^2)^2+(z^2-1)^2)*
                   ((y^2+z^2-0.85^2)^2+(x^2-1)^2)*
                   ((z^2+x^2-0.85^2)^2+(y^2-1)^2)-0.001", 
                   1.2, 50, {1.2, -1.0, 1.3}],
  implicitSurface["(3(x-1)x^2(x+1)+y^2)^2+ 2z^2", 
                   1.2, 10, {0.3, -0.8, 1}],
  implicitSurface["(3(x-1)x^2(x+1)+y^2)^2+(2z^2-1)^2-0.005", 
                   1.2, 10, {0.3, -0.8, 1}],
  implicitSurface["(3(x-1)x^2(x+1)+2y^2)^2+(z^2-0.85)^2*
                   (3(y-1)y^2(y+1)+2z^2)^2+(x^2-0.85)^2*
                   (3(z-1)z^2(z+1)+2x^2)^2+(y^2-0.85)^2* -0.12", 
                   2, 80, {1, -1.8, 1.7}],
  implicitSurface["(2.92(x-1)x^2(x+1)+1.7y^2)^2*(y^2-0.88)^2+
                   (2.92(y-1)y^2(y+1)+1.7z^2)^2*(z^2-0.88)^2+
                   (2.92(z-1)z^2(z+1)+1.7x^2)^2*(x^2-0.88)^2 -0.02", 
                   2, 20, {0.4, -1.8, 1.3}]
  }

Por supuesto, algunos de los ejemplos que se obtuvieron sólo con una gran cantidad de esfuerzo y de inteligente para adivinar.

Es evidente que uno puede construir superficies, tan complicado como uno desea, a través de estos pasos, pero cada vez que un nuevo componente se agrega ($P^{-1}(0) \mapsto (P\cdot P)^{-1}(0)$), el grado del polinomio se incrementa, lo que presenta considerables problemas numéricos cuando el trazado de la superficie.

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P. S. espero que no se han hecho errores cuando he copiado el código. Si es así, por favor, me informen, para comprobar con mi original de Mathematica archivo.

P. P. S superficies fueron incluidos, como ejemplos, en mi diploma.

Answer 2

Volver a colocar mi comentario como solicitada:

Hay una gran cantidad de documentación sobre Wolfram Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/topics/Surfaces.html

He también, no hace mucho, un archivo pdf que tenía fotos y código de Mathematica para una gran cantidad de estas superficies; si me puede sacar de mi historia voy a publicar así.

Answer 3

Completo de las superficies mínimas, descubierto a mediados de 1985. Por ejemplo, Meeks superficies.