¿Cuánta energía se necesitaría para hacer un sustituto del campo magnético natural de la Tierra?

Question

Imagina que el campo magnético de la Tierra hará una "pausa de mantenimiento" durante 1000 años y que hay un gigantesco "temporizador de cuenta atrás del día del juicio final" haciendo tictac en el cielo. El campo magnético será normal durante 9 años y comenzará a desvanecerse linealmente durante el último año.

¿Cuánta energía se necesitaría para proporcionar un sustituto artificial del campo terrestre natural?

Otras preguntas relacionadas:

• ¿Cuál es el mejor plan de rescate para esto? ¿Podemos hacer una bobina gigante [superconductora] que abarque el ecuador?
• ¿Cuánto tiempo sobrevivirá la Tierra sin el campo magnético?

/* No estoy seguro de si esta pregunta encaja mejor aquí o, por ejemplo, en Construcción del mundo SE */

Answer 1

Esta pregunta tiene dos partes (incluso si se eliminan las partes extra).

1. Cuánta energía se almacena en el campo magnético de la Tierra (rampa del imán)
2. Cuánta potencia para mantener ese campo en funcionamiento (corriente de accionamiento a través del gran bucle)

El primero viene dado por el $\frac12 L I^2$ - por lo que tenemos que estimar la inductancia de la bobina necesaria y su corriente.

Una sola espira alrededor del ecuador tendría una inductancia de aproximadamente

$$L = \mu_0 b \log(\frac{b}{a})$$

donde b = radio de la bobina, y a = radio del cable. Para un alambre de 1 cm de grosor obtenemos

$$L = 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 6.3 \cdot 10^6 \log(6.3 \cdot 10^8)\\ \approx 160 H$$

Ahora, para un campo de 0,5 Gauss, necesitaríamos

$$I = \frac{2\pi r B}{\mu_0} = \frac{4\cdot 10^7\cdot 0.5\cdot 10^{-4}}{4\pi\cdot 10^{-7}}1.6GA$$

Wow - Giga amperios. Quizá tenga que replantearme lo del cable de cobre de 1 cm... si tiene una resistencia de unos 0,2 ohmios por km (a partir de la resistividad del medidor de 17 nOhmios), la resistencia del bucle es de 4 kOhmios. Así que la potencia para mantener el flujo de corriente sería de unos $I^2 R = 1.5 E 22 W$ . Eso es un poco exagerado. Aumentemos el cable de cobre en 100.000 (haciendo una sección de 10 metros cuadrados) y bajemos la potencia a un más razonable (?) 1,5 E 17 W. Porque ese fino cable necesitaría 100 veces más potencia por segundo que la utilizada por los Estados Unidos en un año... Con una punta del sombrero a @CuriousOne que notó que me faltaban algunos ceros.

Pero eso no es todavía estimar la potencia para elevar el campo magnético... porque eso viene dado por $\frac12 L I^2$ por lo que a partir de lo anterior se requiere una energía de

$$W = 0.5 \cdot 160 \cdot (1.6 \cdot 10^9)^2 = 2 \cdot 10^{20} J$$

Curiosamente, según Wolfram alpha eso es casi exactamente el doble del uso total de energía de los Estados Unidos al año. Será mejor que apagues el aire acondicionado y empieces a ahorrar para el Armagedón.

Eso es mucho poder... algo más de lo que David Hammen estimó en el pregunta similar . Y David sabe un par de cosas sobre estas cosas, así que espero que encuentre esto y arregle mi error. Necesitarás un cable muy grueso (o más vueltas) para mantener la disipación de energía a algo que pueda ser manejado por, digamos, hervir el océano. En realidad, usar el océano como conductor podría funcionar, siempre y cuando puedas evitar que la corriente haga cortocircuito. La conductividad del agua de mar es unos 20 millones de veces peor que la del cobre, pero de repente no es tan difícil tener un conductor con una sección transversal de $10 km^2$

Superconductores

Se ha preguntado "¿qué tal si se utilizan superconductores? He aquí un par de ideas.

En primer lugar, los superconductores tienen una densidad de corriente crítica por encima de la cual dejan de funcionar. Un valor típico es $20 kA/cm^2$ . Con ese valor, se necesitan 8 metros cuadrados de sección transversal para transportar 1,6 GA (tanto si se hace en una sola vuelta como en varias), por lo que el volumen de conductor es $4\cdot 10^7 \cdot 8 = 3.2\cdot 10^8 m^3$ . Y hay que enfriar ese volumen de conductor hasta la temperatura de superenfriamiento (y mantenerlo ahí...). La termodinámica no es su amiga, y aunque la capacidad térmica disminuye con la temperatura, la energía necesaria para obtener 1 J de calor de 4 K a 300 K es de unos 100 J (75 para un motor térmico "perfecto", pero quién tiene uno de esos). Así que conseguir esa cantidad de superconductor podría ser un problema, y enfriarlo a temperaturas de helio líquido también sería un gran problema... Ah, y mantenerlo frío: eso también sería un problema.

En cuanto al coste, según http://large.stanford.edu/courses/2011/ph240/kumar1/docs/62-03.pdf El cable que lleva 200 A cuesta 20 dólares por metro. Así que son 10 céntimos por amperímetro. Necesitamos 1,6 GA x 40.000 km, lo que supone 6 E 16 amperios metro, o un coste de 6 E 15 dólares. El hecho de que el PIB de EE.UU. sea de unos 1,6E13 dólares significa que esto supondría 400 años de producción económica total, sin contar que no hay tanto material disponible.

Creo que necesitamos otro plan...

PS Después de pensar un poco más en esto, he llegado a la conclusión de que no debería haber ignorado la presencia de cantidades significativas de hierro en el núcleo de la tierra - esto cambia las propiedades magnéticas, ya que ya no tenemos un imán de "núcleo de aire". Esto probablemente reduce las necesidades de corriente en estado estacionario de manera significativa, pero mi EM está oxidada cuando se trata de la energía almacenada para esa situación.