Normal cierre en grupos

Question

Por ejemplo, decir $G = \langle x , y \ | \ x^{12}y=yx^{18} \rangle$. Quiero saber lo que es el normal de cierre de $y$$G$.

En general, ¿cuáles son los enfoques estándar para el cálculo de la normal de cierre de un subconjunto de un finitely presentado el grupo? Existen algoritmos?

Answer 1

Usted puede calcular el normal cierre al calcular el cociente y, a continuación, considerando el núcleo del cociente homomorphism.

Por el ejemplo que dio, vamos a $N$ ser el normal de cierre de $y$$G$. A continuación, $G/N$ tiene presentación $$ \langle x,y \a mediados de x^{12}y = yx^{18},y=1\rangle $$ Esta presentación se reduce a $\langle x \mid x^{12} = x^{18}\rangle$, que es el mismo que $\langle x \mid x^6 = 1\rangle$.

Por lo tanto $G/N$ es un grupo cíclico de orden 6, y $N$ es el núcleo de la homomorphism $G\to G/N$. En particular, la normal cierre de $y$ se compone de todas las palabras para que la potencia total $x$ es un múltiplo de 6.