Hay infinita de torsión libre abelian grupos $A$ $B,$ $A$ no es proyectiva y $B$ no es divisible, sino $$\text{Ext} ^{1}(A, B) = 0.$$ Gracias
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Deje $\mathbb{Z}_p$ el valor del $p$-ádico enteros. Entonces
$$Ext(\mathbb{Q},\mathbb{Z}_p)=0$$
cumpla con los requisitos establecidos en la pregunta. Antes de dar la prueba, vamos a poner el ejemplo en un contexto más amplio: Un grupo abelian $G$ se llama cotorsion, si $Ext(F,G)=0$ para todos los torsión libre de abelian grupos $F$ (en realidad esto es equivalente a $Ext(\mathbb{Q},G)=0)$. Resulta que la torsión libre de cotorsion grupos son solo la forma algebraica grupos compactos [1, Corolario 54.5]. Estos grupos pueden ser completamente clasificados [1, la Proposición 40.1, Teorema 40.2].
Prueba: [1, §38 Ex. 2] En la siguiente me voy a dar un auto-contenido de la prueba.
Por el corto exacta de la seq. $0 \to \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Q}_p \xrightarrow[]{\kappa} \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p \to 0$, es suficiente para mostrar la surjectivity de $\kappa_\ast:Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Q}_p) \to Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)$.
Para un hom. $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ deje $a_n\in\mathbb{Q}_p$ ser un representante de $f(1/p^ n), \,\,n\ge 0$. Por la suma de $f$, $a_n - p^{m-n}a_m \in \mathbb{Z}_p$ para $m \ge n$.
Deje $|\cdot|_p$ el valor del $p$-ádico de valor. El uso de $\mathbb{Z}_p=\{ a \in \mathbb{Q}_p\mid\,|a|_p \le 1\,\}$$|p^ n|_p = p^{-n}$, nos encontramos con $$|p^ na_n - p^ ma_m|_p \le \frac{1}{p^n}\tag{1}$$ Por lo tanto $(p^na_n)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{Q}_p$ y desde $\mathbb{Q}_p$ es completa w.r.t. $|\cdot|_p$ ,$a = \lim_n\; p^na_n\in \mathbb{Q}_p$. Tomando el límite de $m\to \infty$ $(1)$ fijos $n$ rendimientos $|p^na_n -a|_p \le 1/p^n$ todos los $n \ge 0$. Por lo tanto $$a_n - \frac{a}{p^n} \in \mathbb{Z}_p\quad(n \ge 0),\tag{2}$$ mostrando que $f$ está de acuerdo con $\kappa_\ast(g)$$g: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}_p,\,\, q \mapsto qa$$1/p^n,\,n\ge 0$. Pero como $f$ está determinada únicamente por estos valores, $\kappa_\ast(g)=f$ sigue. qed
[1] L. Fuchs, Infinito Abelian Grupos I.