Considere la ecuación de matriz $$AX-XA = R$$ donde $A$ $R$ están dadas las matrices cuadradas tales que $\operatorname{rank}(R)=r$. Cómo establecer condiciones (necesarias, suficientes, o ambos) en $A$ y (o) a $R$ que asegurarse de que exista una solución de $X$ de rango menor o igual que $r$?
Algunas observaciones:
La ecuación implica el colector $[A,X]=AX-XA$$A$$X$, con lo que la solución puede no ser único. De hecho, si $X_0$ es una solución particular, de todas las posibles soluciones son de la forma $$X_0 + B$$ donde $B$ es una matriz que conmuta con $A$, es decir,$[A,B]=O$.
Si asumimos que el $A$ es normal, con una simple autovalores, a continuación, un unitario $U$ y una invertible diagonal $D$ existe tal que $A=UDU^*$. Por lo tanto, podemos vectorizar la ecuación como $$(U\otimes U)(D\otimes I -I \otimes D)(U\otimes U)^* vec(X)=vec(R)$$ El $n^2 \times n^2$ matriz diagonal $D\otimes I -I \otimes D$ tiene exactamente $n$ cero autovalores.
¿Este "vectorizados" la ecuación ($n^2$ sistema lineal) nos dan algo más de información? ¿Qué podemos preguntar acerca de $D$ para asegurarse de que una solución de $vec(X)$, o, equivalentemente,$(U\otimes U)^*vec(X)$, tiene rango menor o igual a $r$?
