Encontrar el límite de $\lim_{a \to \infty} \frac{f(a)\ln a}{a}$

Question

Para cualquier número real $a \geq 1$ deje $f(a)$ denotar la solución real de la ecuación de $x(1+\ln x)=a$, entonces la pregunta es averiguar $$ \lim_{a \to \infty} \frac{f(a)\ln a}{a}$$.

Está claro que si denotamos $h(a)$ $h(a)=a(1+\ln a)$ $f(a)$ es la función inversa de la $h(a)$. También se $f(a)$ es función creciente en su dominio. También el límite convence el uso de lhospital pero no puedo ver cómo se aplican aquí. Gracias.

Answer 1

Tenemos,

$$f(a)(1+\ln f(a))=a$$

Por lo tanto,

$$f'(a)(1+\ln f(a))+f(a)\frac{1}{f(a)}f'(a)=1$$

Así,

$$f'(a)=\frac{1}{2+\ln f(a)}$$

Por l'Hopitals lo que nos interesa es,

$$\lim_{a \to \infty} \left( f'(a) \ln a+\frac{f(a)}{a} \right)$$

De nuevo por l'Hopitals en el segundo límite porque está claro $f(a) \to \infty$$a \to \infty$, el uso de la adición de la regla de los límites justificados por el fin de esta respuesta.

$$\lim_{a \to \infty} f'(a) \ln a+\lim_{a \to \infty} f'(a)$$

$$=\lim_{a \to \infty} f'(a)\ln a$$

Ahora sustituye,

$$f'(a)=\frac{1}{2+\ln f(a)}$$

Para obtener,

$$=\lim_{a \to \infty} \frac{\ln a}{2+\ln f(a)}$$

Utilizar l'Hopitals

$$=\lim_{a \to \infty} \frac{f(a)}{af'(a)}$$

Sustituir nuestra expresión para la derivada de la espalda.

$$=\lim_{a \to \infty} \frac{f(a)(2+ \ln f(a))}{a}$$

Utilizar l'Hopitals

$$=\lim_{a \to \infty} \left(f'(a)(2+\ln f(a))+f'(a) \right)$$

Sustituir nuestra expresión para la derivada de la espalda.

$$=\lim_{a \to \infty} (1+f'(a))$$

$$=1$$

Answer 2

La función de $g(x)=x(1+\ln x)$ definido a lo largo del $[1,\infty)$ ha derivado $$ g'(x)=1+\ln x+1=2+\ln x>0 $$ y $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$, así que la función es creciente y por lo tanto tiene una función inversa definida sobre $[g(1),\infty)=[1,\infty)$. Su inversa es exactamente la función de $f$ tienes que analizar el comportamiento de.

Ahora usted puede utilizar la sustitución de $a=g(x)$ por lo que el límite se convierte en $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x\ln(g(x))}{g(x)}= \lim_{x\to\infty}\frac{x\ln\bigl(x(1+\ln x)\bigr)}{x(1+\ln x)}= \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{1+\ln x}+ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\ln x)}{1+\ln x}=1 $$

Answer 3

Usted debe tratar de buscar un equivalente de $f(a)$ o $\ln(f(a))$:

Primero dijo que f es una función creciente, y: $\lim f = + \infty$

Así que usted tiene: $f(a)[1+\ln(f(a))]=a \implies f(a)\ln(f(a))$~$a$

Aquí se refiere a: $f(a)\ln(f(a))= a + o(a) = a[1+ o(1)]$

Usted puede ser que desee considerar el $\ln$ en ambos lados

Editar

Voy a detalle o() y ~ anotaciones de modo que usted puede comprender por qué puede ser bueno para usarlo:

Sean f y g dos funciones con valores de:

• f(x) = o(g(x)) cuando $x \rightarrow + \infty $ significa: $\forall \epsilon >0 , \exists A \in R :x>A \implies |f(x)|< \epsilon|g(x)|$

  Si g nunca se anula, es equivalente a: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0 , x \rightarrow + \infty$

Del mismo modo se puede definir esta noción al $x \rightarrow a , a \in R$ si, por ejemplo, g diverge en un. f se dice ser insignificante en comparación con g.

• f(x) ~ g(x) cuando $x \rightarrow + \infty$ significa : $f(x) = g(x) + o(g(x))$

Cuando g nunca cancela es igual a: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 1 , x \rightarrow + \infty$

f se dice entonces que ser equivalente a g en $+ \infty$.

Asimismo, la idea se extiende a los casos en que $x \rightarrow a , a \in R$.

Ahora ya no estás familiarizado con esto lo puedo demostrar por qué es bueno utilizar a veces, como aquí:

$f(a)[1+\ln(f(a))]=a , f(a) \rightarrow +\infty$ al $a \rightarrow +\infty$:

1 a continuación, insignificante en comparación con ln(f(a)), y:

$1= \frac{f(a)[1+\ln(f(a))]}{a} = \lim_{a\rightarrow +\infty} \frac{f(a)\ln(f(a))}{a}$

Así se tiene: $f(a)\ln(f(a)) \sim_{a\rightarrow +\infty} a$

Así que con la anterior definición de terminar con lo que había :

$f(a)\ln(f(a))= a + o(a) = a[1+ o(1)] $

donde $o(1)$ es una función que verifica: $o(1) \rightarrow 0$ al $a\rightarrow +\infty$

Ver lo bueno es que se puede manipular una ecuación fácilmente, por lo que si usas $\ln$ en ambos lados:

$\ln[f(a)\ln(f(a))] = \ln(f(a))+ \ln(\ln(f(a))) = \ln(a) + \ln[1+o(1)]$

Usted sabe que $\ln$ es continua, y $\ln(1)=0$$\ln[1+o(1)]\rightarrow_{a\rightarrow +\infty} \ln(1)=0 \implies \ln[1+o(1)]=o(1)$, cuando se $a\rightarrow +\infty$

Así se obtiene: $\ln(f(a))+ \ln(\ln(f(a))) = \ln(a) + \ln[1+o(1)] = \ln(a) + o(1)$

Por último, desde: $\frac{\ln x}{x}\rightarrow 0$ , cuando se $x\rightarrow +\infty$ :

$\frac{\ln(\ln(f(a)))}{\ln f(a)} \rightarrow 0$ al $a\rightarrow +\infty$

De modo que la igualdad escribe:

$\ln(f(a))+ \ln(\ln(f(a))) =\ln(f(a))+o(\ln(f(a))) = \ln(a)+o(1) \implies \ln(a) = \ln(f(a)) + o(\ln(f(a))) -o(1) =\ln(f(a)) +o(\ln(f(a))) $

Puesto que s(1) es insignificante en comparación con $\ln(f(a))$, por lo que es un $o(\ln(f(a)))$

Por lo tanto se tiene: $\ln(a)=\ln(f(a)) +o(\ln(f(a)))$ y esto significa exactamente aquí que:

$$\lim_{a\rightarrow +\infty} \frac{\ln(a)}{\ln(f(a))}=1$$

Ahora usted puede encontrar el límite... Es un poco largo lo siento pero espero que usted verá por qué esto puede ser de gran alcance, una vez que estás cómodo con las nociones :)

Answer 4

Por el momento, esto es totalmente fuera de tema.

$$x(1+\ln x)=a\implies (xe)\ln(xe)=ae \implies x=\frac{a}{W(e a)}$$ donde aparece Lambert función. Esto hace que $$\frac{f(a)\ln (a)}{a}=\frac{\ln (a)}{W(e a)}$$ In the Wikipedia page, you will notice that, when $t\to \infty$, $W(t)\sim \ln(t)$ which makes $$\lim_{a \to \infty} \frac{f(a)\ln a}{a}\sim \lim_{a \to \infty}\frac{\ln(a)}{\ln(ae)}=\lim_{a \to \infty}\frac{\ln(a)}{\ln(a)+1}=1$$