6º Grado (12 Años) - Matemáticas- Triángulo de la Desigualdad Pregunta

Question

Mi hijo la tarea de matemáticas tiene esta cuestión, que me parece ser muy confuso. Ni mi esposa ni yo podemos envolver nuestras cabezas alrededor de lo que se esperaba como respuesta:

Dos lados de un triángulo tienen longitudes $7$$9$. El tercer lado tiene una longitud de $x$. Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es siempre, a veces pero no siempre, o nunca, la verdad.

a) $x = 12$

b) $x = 2$

c) $x < 2$

d) $x < 16$

e) $x < 15$

En mi opinión, la respuesta es , a veces, a todos ellos. Para$x = 12$$x = 2$, al considerar todos los posibles valores de $x$, puede a veces ser esos valores. Para $x < 2$, $x < 15$, y $x < 16$, a veces debido a que todos los valores menores que los haga realidad, hasta llegar a $0$, lo que constituye una línea y ya no es un triángulo.

Parece que he encontrado la de los maestros de la edición del libro (desplácese a la página 6 en el pdf; la pregunta 12), que sólo me confunde aún más.

Answer 1

Creo que usted y su esposa y su hijo puede divertirse calcular esto.

Incluso antes de empezar a pensar acerca de los triángulos, usted debe ser claro acerca de la distinción entre "a veces", "siempre" y "nunca". Cada uno de ellos requiere un tipo diferente de argumento. Eso es lo que me centraré en esta respuesta.

También me gustaría recomendar a cortar unas tiras de papel $7$ $9$ pulgadas de largo, y una tira de $16$ pulgadas de largo marcadas en pulgadas. Luego de jugar un poco antes de tratar de pensar acerca de la aritmética. Te darás cuenta de que si pones las dos más cortas tiras juntas en un extremo, el otro va a ser en la mayoría de las $16$ pulgadas de distancia y, al menos, $2$ pulgadas de distancia – los casos extremos, cuando están alineados.

Usted habrá descubierto algo que ya saben: la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que el tercer lado. Si la suma es igual, el "triángulo" se encuentra en una línea.

Ahora estás listo para una lectura cuidadosa, una instrucción a la vez.

a) $x=12$. Hay un triángulo con un tercer lado de $12$, pero la tercera parte no tiene que ser $12$. Así que la respuesta es que a veces es $12$.

Mi respuesta original estaba mal. Lo voy a dejar aquí, ya que es útil pensar acerca de por qué.

a) $\require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{x=12}$. Ya que hay sólo un número a pensar, la respuesta no puede ser "a veces".
Tiene que ser "siempre" o "nunca". Sus tiras de papel le dicen que es "siempre". La aritmética es $\enclose{horizontalstrike}{9-7 < 12 < 9 + 7}$.

b) y c) Claramente "nunca", ya que $9-7 = 2$.

d) $x < 16$. Así, cada triángulo se las arregló para construir tuvo un tercer lado menos de $16$. La cuestión comienza con un verdadero triángulo, por lo que la respuesta es "siempre". Que no es lo mismo que "por cada $x < 16$ tenemos un triángulo". Eso es falso, como se observó en un comentario, ya que $2 < 16$ y no hay ningún triángulo con el tercer lado de $2$.

e) $x < 15$. OK, tenemos un triángulo con el tercer lado $x$. Puede ser inferior a $15$? Bueno, sí, obviamente. Debe ser inferior a $15$? No. Debe ser menos de $16$, pero podría ser $15.5$. Así que la respuesta a esto es "a veces". (Incluso si $x$ tenía que ser un número entero (no se especifica en la pregunta), podría ser exactamente $15$.)

Nota: he escrito bastante largo de explicar la respuesta. Pensando en las cosas de esta manera es la mejor manera de aprender, incluso si lo que su hijo termine convirtiéndose en su maestro está más cerca de "la respuesta".

Answer 2

Lo importante aquí es entender los límites en el tercer lado del triángulo. El triángulo de la desigualdad nos dice que el tercer lado debe tener la longitud de $x\in (2,16)$, es decir,$2<x<16$ . Esto tiene sentido, porque la suma de las longitudes de los dos primeros lados $A+B$ nunca debe exceder la longitud de la $x$ lado $C$. Del mismo modo, la diferencia entre las longitudes de los lados: $A-B$ nunca debe ser menor que la longitud de la $x$ del lado de la $C$.

$(a)$ Esta respuesta es a veces cierto, ya que la $2<12<16$.

$(b)$ Esta respuesta es nunca verdadera, ya que $2\not<2<16.$

$(c)$ Esta respuesta también es nunca verdadera, por la misma razón como $(b)$.

$(d)$ Esta respuesta es siempre cierto, ya que cualquier $x$ la satisfacción de la restricción va a satisfacer $x<16$.

$(e)$ Esto es a veces cierto, porque un lado de longitud $x=15.5$ podría trabajar, por ejemplo.

Answer 3

De su pdf, sólo tiene que utilizar la siguiente:

Si un triángulo tiene lados de longitudes $x$, $y$, y $z$, los tres siguientes desigualdades debe ser cierto: \begin{align} x+y&>z,\\ x+z&>y,\\ y+z&>x. \end{align}

Aquí, $y=7$$z=9$.

Así, por ejemplo, b. y c. puede que nunca suceda, ya que violaría la primera desigualdad.

Answer 4

Pensar en una "bisagra" de los dos lados con longitudes 7 y 9, respectivamente. Usted puede ponerlo en cualquier abertura entre $0^\circ$$180^\circ$, pero no incluyendo los valores extremos $0^\circ$$180^\circ$.

El tercer lado se dará una vez que arreglar el grado de apertura de la bisagra. En el límite donde el ángulo está muy cerca de a $0^\circ$, el tercer lado tiende a $9-7=2$. En el otro límite, $180^\circ$, el tercer lado tiende a $9+7=16$.

Así que el tercer lado puede tener todas las longitudes de entre 2 y 16, no incluyendo los dos valores extremos.

(Una vez que los chicos han pensado un poco sobre esto, tanto a usted, su esposa y su hijo va a entender la desigualdad de triángulo ).

Answer 5

La respuesta es $d)$ $ x < 7+9 = 16$ siempre es cierto.