Opción múltiple: suma de primos por debajo de $1000$

Question

Me presenté a un examen hace 2 meses y el cuestionario contiene el problema:

Dado que hay $168$ primos por debajo de $1000$ . Entonces la suma de todos los primos por debajo de 1000 es

(a) $11555$ (b) $76127$ (c) $57298$ (d) $81722$

Mi intento de resolverlo: Sabemos que por debajo $1000$ hay $167$ Impares primos y 1 primo par (2), por lo que la suma tiene que ser impar, dejando sólo los dos primeros números. Entonces intenté utilizar la fórmula "Todo primo puede escribirse de la forma $6n-1$ , $6n+1$ excepto $2$ y $3$ .", pero me quedé en eso.

Answer 1

La suma de los primeros 168 enteros positivos es $\frac{168^2+168}{2}=14196$ que es mayor que la respuesta (a). La suma de los primeros 168 primos debe ser aún mayor que eso.

Answer 2

Sólo tienes que decidir entre $11555$ y $76127$ .

Obsérvese que la primera implica el primo medio bajo $1000$ es $11555/168<69$ . Lo cual es claramente falso.

Answer 3

Tenemos que decidir entre $\text{(A)}$ y $\text{(B)}$ . Tenga en cuenta que el $26$ el primero es $101$ . Esto implica que si $p_{n}$ denota el $n$ primo, entonces $$\sum_{n=1}^{168}p_{n} = \sum_{n=1}^{25}p_{n}+\sum_{n=26}^{168} p_{n} > \sum_{n=26}^{168} 101 =101 \times 143=14443 >\text{(A)}=11555$$

La respuesta es la siguiente $\text{(B)}$ , $76127$ . La respuesta puede confirmarse mediante un cálculo directo o puede verificarse aquí .

Answer 4

Hay $168$ primos con el primero igual a $2$ el resto $\ge 2k-1$ para $k=2,3,4,...,168$ . Así que su suma es al menos $168^2+1=28 225$ .

Answer 5

Sólo quería llevar adelante su observación sobre "Todo primo puede escribirse de la forma $(6n-1),(6n+1)$ excepto $2$ & $3$ ".

Podemos obtener rápidamente una suma mínima de esto. Supongamos que el $166$ primos no $2$ o $3$ son los números más pequeños que obedecen a lo anterior; entonces $83$ son $6k{-}1$ , $83$ son $6k{+}1$ y el límite mínimo total es $83$ términos de $12k$ que es $12\cdot 84 \cdot 83 /2 = 504\cdot 83 = 41832$ - y podemos añadir decorativamente el $2$ y $3$ para conseguir $41837$ . Esto es más que suficiente para eliminar la opción (a) como se requiere.