Integral de la $1/(1+x \tan(x))^2$

Question

¿Cómo se podría solucionar de la siguiente integral?

$$\int \frac{1}{(1+x\tan(x))^2} dx$$

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Una sustitución de obras... $$ \frac{1}{(1+x\tan x)^2} = \frac{\cot^2 x}{(\cot x+x)^2} $$ y $$ \frac{d}{dx}\;(\cot x+x) = -\cot^2 x $$ así que ... termine.

Answer 2

$\bf{My\; Solution::}$ Deje $\displaystyle I = \int\frac{1}{(1+x\tan x)^2}dx = \int\frac{\cos ^2x}{(x\sin x+\cos x)^2}dx$

Por lo $\displaystyle I = \int \frac{\cos x}{x}\cdot \left\{\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}\right\}dx$

Ahora Usando Integración por Partes....

Por lo $\displaystyle I = -\frac{\cos x}{x}\cdot \frac{1}{(x\sin x+\cos x)}-\int \frac{(x\sin x+\cos x)}{x^2}\cdot \frac{1}{(x\sin x+\cos x)}dx$

Por lo $\displaystyle I = -\frac{1}{x\cdot (1+x\tan x)}+\frac{1}{x}+\mathcal{C} = \frac{\tan x}{(1+x\tan x)}+\mathcal{C}.$