¿Cuándo $V/\operatorname{ker}(\phi)\simeq\phi(V)$ implica $V\simeq\operatorname{ker}(\phi)\oplus\phi(V)$ ?

Question

¿Cuándo $V/\operatorname{ker}(\phi)\simeq\phi(V)$ implica $V\simeq\operatorname{ker}(\phi)\oplus\phi(V)$ ?

Lo escribí de forma imprecisa a propósito. La notación anterior es la del álgebra lineal: tenemos $V,W$ espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb K$ y un $\mathbb K$ -mapa lineal $\phi:V\to W$ . Entonces sabemos que el teorema del isomorfismo dice que $$ V/\operatorname{ker}(\phi)\simeq\phi(V) $$ y también sabemos que $\operatorname{dim_{\mathbb K}}V= \operatorname{dim_{\mathbb K}}(\operatorname{ker}(\phi))+ \operatorname{dim_{\mathbb K}}(\phi(V))$ .

Pero cuando tenemos que de esto se deduce que $$ V\simeq\operatorname{ker}(\phi)\oplus\phi(V)\;\;? $$

Esto era para ser más precisos en el caso particular del espacio vectorial, pero estaría bien saber cómo va en cada situación en la que funciona el teorema del isomorfismo (homomorfismo de anillos, homomorfismo de grupos y demás).

EDITAR: Esta pregunta se me ocurrió originalmente porque estaba estudiando el grupo de unidades en un anillo numérico $R$ (es decir $R=\mathbb A\cap K$ , donde $\mathbb Q\le K\le\mathbb C$ , $[K:\mathbb Q]=n$ y $\mathbb A$ es el anillo de enteros algebraicos de $\mathbb C$ ). Existe un teorema que afirma que en este caso el grupo de unidades $U$ es un producto directo de un grupo cíclico finito formado por las raíces de $1$ Llámalo $V$ y un grupo abeliano libre de rango finito $W$ (el rango es $r+s-1$ donde $r$ es el número de incrustaciones reales de $K$ y $2s$ es el número de incrustaciones complejas de $K$ y claramente $n=r+2s$ ). Para demostrarlo, construimos un homomorfismo de grupo moltiplicativo a aditivo $U\to\mathbb R^{r+s}$ llamado $\log$ (es un logaritmo especial), cuyo núcleo es exactamente $V$ y cuya imagen es $W\simeq\mathbb Z^{r+s-1}$ . De esto, mi libro (Daniel Marcus' Number Fields) deja seguir que $U\simeq V\times W$ y aunque suena bien, no entendí exactamente por qué.

SEGUNDA EDICIÓN: si puede ayudar voy a escribir mejor el mapa $\log$ . Considere la $r$ incrustaciones reales de $K$ : $\sigma_i$ y el $2s$ complejos $\tau_j, \bar{\tau_j}$ . Podemos definir un monomorfismo de grupos aditivos $$ \varphi:K\to\mathbb R^n $$ definido por $$ \varphi(x)=(\sigma_1(x),\dots,\sigma_r(x),\Re(\tau_1(x)),\Im(\tau_1(x)),\dots,\Re(\tau_s(x)),\Im(\tau_s(x)))\;\;. $$ Entonces, dada una base integral de $R$ , digamos que $\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ podemos considerar el $\varphi(\alpha_i)$ : forman una base para $\mathbb R^n$ por lo que podemos considerar el $n$ -de la red generada por ellos: $$ \Lambda_{R}:=\operatorname{Span}(\varphi(\alpha_1),\dots,\varphi(\alpha_n{})):=\langle\varphi(\alpha_1),\dots,\varphi(\alpha_n{})\rangle_{\mathbb Z}\;. $$ Está claro que $\varphi$ envía $R$ en $\Lambda_R$ por lo que son isomorfas. Entonces consideremos $$ U\subset R\setminus\{0\}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\Lambda_R\setminus\{0\}\stackrel{\log}{\longrightarrow}\mathbb R^{r+s} $$ donde $\log$ se define como (dado $x=(x_1,\dots,x_n)\in\Lambda_R\subset\mathbb R^n$ ) $$ \log(x):=(\log|x_1|,\dots,\log|x_r|,\log(x_{r+1}^2+x_{r+2}^2),\dots,\log(x_{n-1}^2+x_n^2)). $$

Answer 1

No es cierto en general. (De hecho, es falsa en la mayoría de las categorías comunes: grupos, anillos, módulos, etc.; sólo ocurre que se mantiene para los espacios vectoriales de dimensión finita porque la dimensión los clasifica completamente). Por poner dos ejemplos:

• Grupos: El grupo simétrico $S_3$ contiene un subgrupo normal $A_3 = \mathbb{Z}_3$ que es el núcleo del mapa de signos $f:S_3 \to \mathbb{Z}_2$ . Pero $S_3$ no es el producto directo de $A_3$ y algunos otros $N\subset S_3$ el grupo $N$ debe tener entonces el orden $2$ y por tanto ser isomorfo a $\mathbb{Z_2}$ pero claramente $S_3\not = \mathbb{Z}_3 \oplus\mathbb{Z}_2$ .
• Módulos: El mapa de cociente $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene un núcleo $n\mathbb{Z}$ pero $n\mathbb{Z}$ no es un sumando directo de $\mathbb{Z}$ . Porque si $\mathbb{Z} = n\mathbb{Z} \oplus M$ entonces $M =\mathbb{Z}_n$ pero $\mathbb{Z}$ es libre de torsión.

Answer 2

Otra forma de preguntarlo de forma más general: Cuando, para cualquier $A,B$ ¿acaso no existen extensiones no triviales $0\to A\to E\to B\to 0$ ?

Desde el álgebra homológica (al menos en el caso de una categoría abeliana, quizás de forma más general), podemos decir que esto es cierto cuando cada objeto de nuestra categoría es proyectivo.

El hecho relevante de los espacios vectoriales (módulos sobre un campo) es que todos tienen una base. Por tanto, todos son libres, y por tanto proyectivos.

Lo mismo ocurre si consideramos la categoría de $R$ -módulos, donde $R$ es un anillo artiniano semisimple (no necesariamente conmutativo).

Answer 3

$V\simeq ker(\phi)\oplus \phi(V)$ es siempre verdadera para un mapa lineal $\phi:V\rightarrow W$ aunque $V$ y $W$ son de dimensión infinita.

Hilo conductor: Que $\phi:V\rightarrow W$ sea un mapa lineal. Existe un subespacio $R$ de $V$ tal que

1. $R\oplus\ker(\phi)=V$
2. $\phi:R\rightarrow\phi(V)$ es un isomorfismo.

Prueba: Elige una base $\{w_i,\ i\in I\}$ para el subespacio $\phi(V)$ . Dejemos que $v_i\in V$ sea tal que $\phi(v_i)=w_i$ .

Observe que $\{v_i,\ i\in I\}$ es un conjunto lineal independiente. Sea $R$ sea el tramo de $\{v_i,\ i\in I\}$ .

Considere $\phi:R\rightarrow\phi(V)$ . Es evidente que $\phi$ es suryente.

Ahora, supongamos que $r\in R\cap\ker(\phi)$ . Desde $r=\sum_{k=1}^m a_kv_{i_k}$ entonces $0=\phi(r)=\phi(\sum_{k=1}^m a_kv_{i_k})=\sum_{k=1}^m a_kw_{i_k}$ . Así, $a_{i_1}=\ldots=a_{i_m}=0$ y $r=0$ . Por lo tanto, $R\cap\ker(\phi)=\{0\}$ y $\phi:R\rightarrow\phi(V)$ es inyectiva. Por lo tanto, $\phi:R\rightarrow\phi(V)$ es un isomorfismo.

Ahora, dejemos que $v\in V$ . Dejemos que $\phi(v)=\sum_{s=1}^n b_sw_{i_s}$ . Considere $v-\sum_{s=1}^n b_sv_{i_s}$ . Observe que $\phi(v-\sum_{s=1}^n b_sv_{i_s})=0$ . Observe que $\sum_{s=1}^n b_sv_{i_s}\in R$ . Así que cada $v\in V$ es la suma de un vector en $R$ y un vector en $\ker(\phi)$ .

Answer 4

La razón por la que el mapa $\log$ tiene un desdoblamiento (no canónico) es el siguiente:

Un número algebraico cuyos conjugados de Galois tienen valor absoluto $1$ es una raíz de la unidad.

De esto se deduce inmediatamente que el núcleo de $\log: R^\times \to \mathbf R^{r+s-1}$ consiste precisamente en $\text{Tors}(R^\times)$ . Además, $\log$ es un isomorfismo de $R^\times/\text{Tors}(R^\times)$ con un entramado de $\mathbf R^{r+s-1}$ . Por lo tanto, $R^\times/\text{Tors}(R^\times)$ está generada finitamente, y como $\text{Tors}(R^\times)$ es finito, también lo es $R^\times$ se deduce del teorema de la estructura para grupos generados finitamente que $R^\times \cong \text{Tors}(R^\times) \oplus R^\times/\text{Tors}(R^\times)$ (no canónicamente).