¿Cuál es la diferencia entre PSL_2 y PGL_2?

Question

Dejemos que $K$ sea un campo y $G:=SL_2(K)$ entonces $G$ es un $K-$ grupo reductor dividido (por usar algunas palabras mayores). Estos grupos se clasifican por un dato raíz basado $(X,D,X',D')$ . Sea $G'$ sea un grupo asociado a $(X',D',X,D)$ el llamado grupo dual. ¿Es correcto que $G'=PGL_2(K)$ ?

Me pregunto cómo $PSL_2(K)$ encaja en este cuadro. Soy consciente de que si C es algebraicamente cerrado, entonces $PSL_2(C) \cong PGL_2(C)$ como grupos abstractos; ¿se puede convertir esto en un isomorfismo de grupos algebraicos, es decir, es $PSL$ a $K-$ forma de $PGL$ ?

Answer 1

Sí, el doble de $SL_2$ es $PGL_2$ .

Pero no vas por el camino correcto con $PSL_2$ . El problema con $PSL_2$ ¡es que no es una variedad en absoluto! Se puede cuantificar la variedad $SL_2$ por el subgrupo $\pm1$ pero el cociente es la variedad $PGL_2$ (recuérdese que los cocientes en la categoría de gavillas (ya que éstas son realmente gavillas fppf) no tienen que ser suryectivos en las secciones globales, por lo que la afirmación de que hay una suryección $SL_2\to PGL_2$ no implica que el mapa inducido $SL_2(\mathbf{Q})\to PGL_2(\mathbf{Q})$ es una suryección).

El problema con $PSL_2$ es que es un functor de, digamos, anillos a grupos, pero no es uno representable, así que en particular no es un grupo algebraico. Si quieres, puedes imaginar $PSL_2$ como cociente de preseaf, y $PGL_2$ como la gavilla (representable) asociada.

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Edición: He intentado pensar en una forma de hacer esta observación más esclarecedora. Por ejemplo, intentemos construir una variedad afín sobre $\mathbf{Q}$ representando el $PSL_2$ functor. Bien, podemos construir una variedad afín sobre $\mathbf{Q}$ representando el $SL_2$ functor: es sólo $A:=\mathbf{Q}[a,b,c,d]/(ad-bc-1)$ . Ahora veamos qué pasa si intentamos hacer un cociente por el grupo $\pm1$ . El cociente es afín, y está representado por los invariantes de la acción, es decir, el subring de $A$ que consiste en polinomios en $a$ , $b$ , $c$ , $d$ con la propiedad de que cada monomio mencionado en el polinomio tiene grado total par. Ahora el problema es el siguiente: puedo ver un $\mathbf{Q}$ -de este subring (es decir, un mapa de este subring a $\mathbf{Q}$ ) que corresponde a la matriz $(s,0;0,1/s)$ para $s=\sqrt{p}$ , $p$ ¡un número primo! Es el punto que envía $a^2$ a $p$ , $ab$ a $0$ y así sucesivamente, y finalmente $d^2$ va a $1/p$ y $ad$ va a $1$ , $bc$ va a $0$ Así que $ad-bc=1$ . El mapa del subring a $\mathbf{Q}$ no se extiende a un mapa de todo el anillo a $\mathbf{Q}$ Así que nuestra construcción putativa ha fallado porque el $\mathbf{Q}$ -de este anillo es un grupo que contiene canónica pero estrictamente $PSL_2(\mathbf{Q})$ (siendo este subgrupo el $\mathbf{Q}$ -puntos que se extienden hasta $\mathbf{Q}$ -puntos de $A$ ).

Answer 2

Otra forma de decir esencialmente lo mismo que Kevin es la siguiente: ¿cuándo se llama cociente a un mapa de grupos algebraicos? Considerando sólo los mapas $x \mapsto x^n$ de la multiplicativa $\mathbb G_m$ a sí mismo. El functor de grupo cociente no es representable, porque si lo fuera, entonces tendríamos $$R^\times/(R^\times)^n \to S^\times/(S^\times)^n$$
correspondiente a $Hom(A,R) \to Hom(A,S)$ y esta última es claramente inyectiva si $R \to S$ es, mientras que el primero no lo es (basta con tomar $R,S$ campos y $S$ algebraicamente cerrado digamos, por ejemplo $\mathbb R$ y $\mathbb C$ con $n=2$ ).

Así que para permanecer en la tierra de los funtores de grupos algebraicos, probablemente quieras declarar $x \mapsto x^n$ un mapa cociente. Una solución a esto es decir $G\to H$ es onto si el pullback asociado a las funciones es una inyección (como ciertamente lo es para los mapas de potencia). Entonces se puede trasladar esto al contexto de los funtores de grupo mostrando que esto es lo mismo que exigir que los funtores de grupo sean "sobreyectivos" después de una extensión fielmente plana finitamente generada, es decir, dado $h \in H(R)$ el cociente, puedo encontrar tal extensión $S$ de $R$ y un $g \in G(S)$ a la imagen de $h$ sur $H(S)$ .

Answer 3

Como dice Kevin, la definición "correcta" de ${\rm{PSL}}_n$ es como representar la gavilla cotizada ${\rm{SL}}_n/\mu_n$ , al igual que se define ${\rm{PSO}}(q) = {\rm{SO}}(q)/Z_{{\rm{SO}}(q)}$ (con $Z_G$ que denota el centro teórico del esquema de un grupo liso $G$ ). Así que realmente, no hay diferencia entre ${\rm{PSL}}_n$ y ${\rm{PGL}}_n$ cuando se define correctamente, y del mismo modo ${\rm{PSO}}(q) = {\rm{PGO}}(q)$ . Personalmente, evito la notación ${\rm{PSL}}_n$ como la peste, ya que crea demasiada confusión.

Para que esto no parezca una respuesta frívola, permítanme señalar que para un anillo general $R$ con grupo de Picard no trivial, tampoco es cierto que ${\rm{PGL}}_n(R)$ ¡tampoco es lo más "ingenuo"! Por ejemplo, si $R$ es un dominio Dedekind cuyo grupo de Picard tiene 2-torsión no trivial, entonces ${\rm{PGL}} _2(R)$ es generalmente mayor que ${\rm{GL}} _2(R)/R^{\times}$ . Y esto no es un capricho de la geometría algebraica. Lo mismo ocurre con los grupos de Lie: si una variedad lisa $M$ tiene haces de líneas de 2 torsiones no triviales puede ocurrir y ocurre que haya $C^{\infty}$ mapas $f:M \rightarrow {\rm{PGL}} _2(\mathbf{R})$ que no surgen de un mapa a ${\rm{GL}} _2(\mathbf{R})$ (en concreto, tirando del mapa de cociente ${\rm{GL}} _2(\mathbf{R}) \rightarrow {\rm{PGL}} _2( \mathbf{R})$ a lo largo de $f$ produce un haz de líneas en $M$ que puede ser no trivial).

Y la "rareza" de todo ello (basada en la experiencia sobre un campo algebraicamente cerrado) se ve también por el hecho de que la definición concreta del esquema de grupo ${\rm{PGL}}_n$ es como un abierto afín básico en el espacio proyectivo de $n \times n$ matrices, y sabemos que los "puntos" de los espacios proyectivos son algo sutil (comparado con el caso de los puntos geométricos) cuando el origen tiene haces de líneas no triviales (ya sea un esquema o un colector).

Dado que no se puede pasar con puntos valorados en el campo cuando se hacen argumentos de representabilidad, el mismo "problema" que se ve para el punto de vista ingenuo sobre ${\rm{PSL}} _n$ también es relevante cuando se hacen pruebas para ${\rm{PGL}} _n$ . La diferencia es que para este último hay que trabajar más "globalmente" para ver la sorpresa porque las cohomologías de grado-1 de Zariski y fppf para $\mathbf{G} _m$ coinciden (por lo que para los anillos locales no ocurre nada raro, ya que tienen cohomología de gavilla de Zariski superior evanescente) mientras que para los primeros ya ocurre algo raro para los anillos locales y los campos pares (que pueden tener cohomología fppf de grado 1 no trivial para $\mu_n$ ). En términos más concretos, equivale a definir el functor ${\rm{PGL}} _n$ como una gavilla cotizada para las topologías Zariski o fppf, mientras que para ${\rm{PSL}} _n$ hay que sheafificar para la topología fppf (etale ok cuando $n$ es una unidad en la base), y en cualquier caso el funtor ingenuo sobre anillos (inspirado en el caso de los campos algebraicamente cerrados) ni siquiera es una gavilla de Zariski y, por tanto, más allá de los anillos locales hay que hacer algo para conseguir el funtor correcto (por ejemplo, uno que sea representable).

Muchos libros sobre grupos algebraicos lineales utilizan una versión de la geometría algebraica que no se adapta bien a las sutilezas de las consideraciones de los cocientes (por ejemplo, Borel utiliza el ingenioso método de Serre "cociente por $p$ -Lie algebra" para manejar cocientes por grupos infinitesimales sin decir "grupo infinitesimal", y algunos de sus argumentos de cocientes serían mucho más cortos si hubiera podido utilizar la planitud sistemáticamente). En particular, el libro de Springer tiene algunos errores graves cuando el campo terreno no es algebraicamente cerrado (en las últimas partes, donde discute $F$ -grupos reductores y cosas relacionadas). Por ejemplo, utiliza el argumento incorrecto de que la subjetividad de un $F$ -mapa entre suave $F$ -se pueden comprobar las variedades en $F_s$ -puntos, lo que no es cierto cuando $F$ no es perfecto (eliminar un punto inseparable de la línea afín y considerar la inclusión en la línea). Así que ten cuidado en esa parte de su libro. (Algunas afirmaciones son falsas, no sólo las pruebas).