Brecha en Hartshorne no puede llenar

Question

Página 142, Ejemplo 6.11.4.

He estado tratando de ir a través de los detalles de la sentencia

La prueba de (6.10) muestra que si $f \in K$ es invertible en a $Z$, entonces el principal divisor $(f)$ $X - Z$ tiene el grado $0$.

$X$ es el singular de la curva dada por la ecuación homogénea $y^2z = x^3$ $\mathbb P^2$ $Z$ es el punto singular $[0,0,1]$. $K$ es el campo de funciones racionales de $X$. (6.10) se refiere al resultado que un director divisor en una completa nonsingular curva tiene un grado $0$.

Así, en primer lugar $X$ no es nonsingular, así que supongo que la idea es relajarse todas las declaraciones de los implicados y aún así obtener la prueba. Mi problema principal es que los morfismos $X - Z \to \mathbb P^1$ es no finito (no es la adecuada y finito morfismos son). Todo en la sección sobre finito morfismos de curvas con nonsingularity supuestos en casi todas partes, así que este es un dolor. Entiendo que los morfismos $\varphi : X \to \mathbb P^1$ obtenido a partir de la extensión de campo $k(f) \subseteq K(X)$ será finito y $X$ es completa, pero, a continuación, el mapa de $\varphi^* : \mathrm{Div}(\mathbb P^1) \to \mathrm{Div}(X)$ asume $X$ es nonsingular, y no veo la forma correcta de deshacerse de la cuestión del punto singular.

Pensé sobre el uso de la proyección desde un punto de $\mathbb P^3 \backslash \{*\} \to \mathbb P^2$ que envía un trenzado cúbico $C$ a este singular curva de $X$, y dado que la inducida por morfismos $C \to X$ es un bijection de conjuntos, la inducida por morfismos de completar nonsingular curvas de $C \to X \to \mathbb P^1$ me daría un divisor de Weil en $C$, lo que podría pushforward a $X - Z$ usando el hecho de que si $P \in C$ es el punto en el cual se asigna a $Z$, entonces el mapa de $C \to X$ restringe a un isomorfismo $C - P \to X - Z$, por lo que puedo empujar mi Weil divisor de $C - P$$X - Z$. Este parece ser el enfoque correcto, pero si era el único, que hubiera merecido un comentario de Hartshorne...

Añadido : mostrar que los principales divisores de Cartier $X$ tienen un divisor de Weil de grado $0$$X - Z$, me encuentro con problemas similares.

Así que mi pregunta es : ¿alguien sabe exactamente cuál fue la intención del significado de la frase que he citado anteriormente?

Answer 1

Corolario I. 6.10 establece que cada nonsingular cuasi-proyectiva de la curva es isomorfo a un subconjunto abierto de un nonsingular curva proyectiva. Así tenemos a $X - Z \subset W$ donde $W$ es un proyectiva nonsingular curva. Ahora los morfismos $X - Z \rightarrow \mathbb{P}^1$ se extiende únicamente a $W$, y podemos aplicar el Teorema 6.10.