Su definición de la distancia entre conjuntos $A$ y $B$ no funciona para algunos espacios métricos. Consideremos dos ejemplos.
Dejemos que $S = \mathbb{Q}$ . Dejemos que $A=[0,\sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$ y $B = \{2\}$ . Establece $A$ y $B$ son subconjuntos cerrados y acotados del espacio métrico $S$ . Sin embargo, $\min\{d(a,b): a\in A, b\in B\}$ no está definido (pero $\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\} = 2 - \sqrt{2}$ ).
Ahora dejemos que $S = \ell_1$ . Dejemos que $e_i$ sea la base estándar de $\ell_1$ . Dejemos que $A = \{e_i: i\in{\mathbb{N}}\}$ y $B = \{(1 - 1/i) e_i: i\in{\mathbb{N}}\}$ . Establece $A$ y $B$ son acotados y cerrados. De nuevo, $\min\{d(a,b): a\in A, b\in B\}$ no está definido (pero $\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\} = 0$ ).
Para evitar este problema, supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos compactos (o, alternativamente, que $S$ es un espacio métrico completo y $A$ y $B$ son conjuntos totalmente acotados ).
Para garantizar que $d(A,B) = d(\partial A, \partial B)$ basta con suponer que $S$ es un espacio métrico de la trayectoria (por supuesto, es una condición suficiente pero no necesaria). Recordemos que $S$ es un espacio métrico de la trayectoria si la distancia entre cada par de puntos es igual al ínfimo de las longitudes de las curvas que unen los puntos (véase [Gromov "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"]). En particular, todos los espacios normados son espacios métricos de trayectoria. También una variedad riemanniana cerrada equipada con la métrica geodésica es un espacio métrico de trayectoria.
Prueba. Supongamos que $S$ es un espacio métrico de trayectoria. Consideremos subconjuntos compactos $A,B \subset S$ . Queremos demostrar que $d(A,B) = d(\partial A, \partial B)$ . Supongamos por el contrario que $d(A,B) < d(\partial A, \partial B)$ . Dejemos que $a\in A$ y $b\in B$ sea tal que $d(a,b) = d(A,B)$ .
Elija $\varepsilon > 0$ tal que $(1 + \varepsilon) d(A,B) < d(\partial A, \partial B)$ . Desde $S$ es un espacio métrico de trayectoria, existe una curva $\gamma:[0,1]\to S$ con $\gamma(0) = a$ y $\gamma (1) = b$ de una longitud máxima de $(1 + \varepsilon) d(A,B)$ . Esta curva no puede intersecar ambos $\partial A$ y $\partial B$ ya que, de lo contrario, la distancia entre $\partial A$ y $\partial B$ sería como máximo $(1 + \varepsilon) d(A,B)$ . Por otro lado, $\gamma(t_A) \in \partial A$ para $t_A = \sup \{t: \gamma(t) \in A\}$ y $\gamma(t_B) \in \partial B$ para $t_B = \inf \{t: \gamma(t) \in B\}$ . Obtenemos una contradicción. QED
Este es un ejemplo cuando $d(A,B) \neq d(\partial A, \partial B)$ . Dejemos que $S= [-1,1]\times \{0,1\}$ . Definir \begin{align*} d((x,0),(y,0)) &= d((x,1),(y,1)) = |x-y|;\\ d((x,0),(y,1)) &= |x| + |y| + 1. \end{align*} Es fácil comprobar que $(S, d)$ es un espacio métrico completo. Sea $A = [-1,1] \times \{0\}$ y $B = [-1,1] \times \{1\}$ . Tenemos, $\partial A = \{-1,1\} \times \{0\}$ y $\partial B = \{-1,1\} \times \{1\}$ . Así, $$d(A,B) = d((0,0), (0,1)) = 1$$ pero $$d(\partial A, \partial B) = d((1,0),(1,1)) = 3.$$