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Distancia de dos conjuntos y sus puntos más cercanos

Supongamos que tenemos un espacio métrico $S$ , una métrica $d$ y dos subconjuntos de ella, llamados $A$ y $B$ . Supongamos también que $A\cap B = \emptyset$ . Supongamos también que al menos uno de estos conjuntos está acotado, es decir, que no tiene una secuencia de puntos en la que la distancia entre ellos sea infinitamente grande.

A continuación, definimos la distancia entre $A$ y $B$ como $\min \{ d(a,b)| a \in \bar A, b \in \bar B\}$ los puntos a y b pertenecen al cierre del conjunto respectivo.

Cuando $S = \Re^n$ (vectores de números reales), está claro (si alguien puede explicar por qué, sería genial) que $d(A,B) = d(\partial A, \partial B)$ , es decir, los dos puntos $a \in A, b \in B$ que están más cerca entre sí y pertenecen a conjuntos diferentes, son también miembros de la frontera respectiva del conjunto al que pertenecen.

Me gustaría saber cuándo esto es cierto en general. ¿Cuándo la distancia entre dos conjuntos es la misma que la distancia de sus límites?

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MaxB Puntos 212

Su definición de la distancia entre conjuntos $A$ y $B$ no funciona para algunos espacios métricos. Consideremos dos ejemplos.

Dejemos que $S = \mathbb{Q}$ . Dejemos que $A=[0,\sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$ y $B = \{2\}$ . Establece $A$ y $B$ son subconjuntos cerrados y acotados del espacio métrico $S$ . Sin embargo, $\min\{d(a,b): a\in A, b\in B\}$ no está definido (pero $\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\} = 2 - \sqrt{2}$ ).

Ahora dejemos que $S = \ell_1$ . Dejemos que $e_i$ sea la base estándar de $\ell_1$ . Dejemos que $A = \{e_i: i\in{\mathbb{N}}\}$ y $B = \{(1 - 1/i) e_i: i\in{\mathbb{N}}\}$ . Establece $A$ y $B$ son acotados y cerrados. De nuevo, $\min\{d(a,b): a\in A, b\in B\}$ no está definido (pero $\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\} = 0$ ).

Para evitar este problema, supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos compactos (o, alternativamente, que $S$ es un espacio métrico completo y $A$ y $B$ son conjuntos totalmente acotados ).

Para garantizar que $d(A,B) = d(\partial A, \partial B)$ basta con suponer que $S$ es un espacio métrico de la trayectoria (por supuesto, es una condición suficiente pero no necesaria). Recordemos que $S$ es un espacio métrico de la trayectoria si la distancia entre cada par de puntos es igual al ínfimo de las longitudes de las curvas que unen los puntos (véase [Gromov "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"]). En particular, todos los espacios normados son espacios métricos de trayectoria. También una variedad riemanniana cerrada equipada con la métrica geodésica es un espacio métrico de trayectoria.

Prueba. Supongamos que $S$ es un espacio métrico de trayectoria. Consideremos subconjuntos compactos $A,B \subset S$ . Queremos demostrar que $d(A,B) = d(\partial A, \partial B)$ . Supongamos por el contrario que $d(A,B) < d(\partial A, \partial B)$ . Dejemos que $a\in A$ y $b\in B$ sea tal que $d(a,b) = d(A,B)$ .

Elija $\varepsilon > 0$ tal que $(1 + \varepsilon) d(A,B) < d(\partial A, \partial B)$ . Desde $S$ es un espacio métrico de trayectoria, existe una curva $\gamma:[0,1]\to S$ con $\gamma(0) = a$ y $\gamma (1) = b$ de una longitud máxima de $(1 + \varepsilon) d(A,B)$ . Esta curva no puede intersecar ambos $\partial A$ y $\partial B$ ya que, de lo contrario, la distancia entre $\partial A$ y $\partial B$ sería como máximo $(1 + \varepsilon) d(A,B)$ . Por otro lado, $\gamma(t_A) \in \partial A$ para $t_A = \sup \{t: \gamma(t) \in A\}$ y $\gamma(t_B) \in \partial B$ para $t_B = \inf \{t: \gamma(t) \in B\}$ . Obtenemos una contradicción. QED

Este es un ejemplo cuando $d(A,B) \neq d(\partial A, \partial B)$ . Dejemos que $S= [-1,1]\times \{0,1\}$ . Definir \begin{align*} d((x,0),(y,0)) &= d((x,1),(y,1)) = |x-y|;\\ d((x,0),(y,1)) &= |x| + |y| + 1. \end{align*} Es fácil comprobar que $(S, d)$ es un espacio métrico completo. Sea $A = [-1,1] \times \{0\}$ y $B = [-1,1] \times \{1\}$ . Tenemos, $\partial A = \{-1,1\} \times \{0\}$ y $\partial B = \{-1,1\} \times \{1\}$ . Así, $$d(A,B) = d((0,0), (0,1)) = 1$$ pero $$d(\partial A, \partial B) = d((1,0),(1,1)) = 3.$$

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Spatial Pariah Puntos 332

Bien, tratemos de comparar las dos distancias $d(A,B)$ y $d(\partial A, \partial B)$ . Claramente, ya que el límite de cualquier conjunto está contenido en el cierre de ese conjunto, $d(\partial A, \partial B)\geq d(A,B)$ .

Para responder a tu pregunta, vamos a ver si podemos establecer la desigualdad opuesta. En primer lugar, para facilitar las cosas, podríamos suponer que ambos $A$ y $B$ están cerradas. Ahora, elige tu par de puntos favorito $a\in A$ y $b\in B$ . Si $a\notin \partial A$ entonces hay por definición algún radio $r>0$ tal que $B(a,r)-A=\emptyset$ es decir, tal que $B(a,r)\subseteq A$ .

Lo que nos gustaría hacer es encontrar un punto $a'$ en $B(a,r)$ que está más cerca de $b$ que $a$ es. En el caso del espacio euclidiano, o de cualquier espacio vectorial normado, esto es fácil: basta con trazar un segmento de línea recta desde $a$ a $b$ y tomar $a'$ para ser la intersección de ese segmento de línea con $\partial B(a,r)$ (tenga en cuenta que como $A$ está cerrado y $B(a,r)$ está contenida en $A$ la clausura, y por lo tanto el límite, de $B(a,r)$ también se encuentra en $A$ ). Tendré que pensar en esto para un espacio métrico general -mi instinto es que no es el caso, pero como apenas estoy comenzando mi carrera matemática, ¡mi instinto a menudo ha demostrado estar equivocado!

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