Tate prueba de que el grupo de personajes de un campo local es isomorfo a su grupo aditivo

Question

Estoy leyendo Tate tesis, y yo estoy atrapado en una de sus pruebas. Deje $k$ denotar la realización de un número algebraico de campo en un divisor primo $p$. Tate afirma que el grupo aditivo $k^+$ $k$ es isomorfo, tanto topológicamente y algebraicamente, a su carácter de grupo. Deje $\xi \mapsto \chi(\xi)$ ser un no-trivial carácter de $k^+$ y definir un mapa de$k^+$$\widehat{k^+}$$\eta \mapsto \chi(\eta \xi)$. La prueba de que el mapa es inyectiva y bicontinuous, pero no entiendo por qué el mapa es surjective. En la prueba se muestra en primer lugar que la imagen del mapa es denso en $\widehat{k^+}$. Por bicontinuity, la imagen es localmente compacto. Entonces él concluye, "Local compacidad implica integridad y por lo tanto el cierre de..." (pág. 309 de Cassels & Frohlich).

Podría alguien explicar que la frase? ¿Cómo compacidad local implica integridad, y lo hace integridad incluso en el caso de un grupo de personajes? Hay una métrica en el grupo de personajes? He mirado en varios libros (por ejemplo, Lang, la Teoría Algebraica de números, Ramakrishnan Y Valenza) y no podía encontrar una explicación. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Cualquier topológico abelian grupo, naturalmente, lleva un uniforme de la estructura de espacio, y no hay una noción de finalización para el uniforme de los espacios. No es demasiado duro para demostrar que un localmente compacto (Hausdorff) abelian grupo se completa en esta uniformidad; esto fue discutido en otro MSE post en algo roto en inglés, pero la idea debe ser clara: si $x_\alpha$ es de Cauchy red, entonces las diferencias $x_\alpha - x_\beta$ se encuentran dentro de un compacto barrio de la identidad de todos los $\alpha, \beta$ lo suficientemente grande. Mantener dichas $\beta$ fijo y que ese $\alpha$ variar; por compacidad, el límite

$$\lim_\alpha x_\alpha - x_\beta$$

existe. Si este límite es$x$, $x+x_\beta$ es el límite de la original de Cauchy red.

Esto se aplica en particular a la Pontryagin dual $\widehat{k^+}$: es localmente compacto, por lo tanto completa como un espacio uniforme. Así es la imagen de $k$ bajo el mapa de $i: k^+ \to \widehat{k^+}$ inducida por el emparejamiento en $k^+$, de acuerdo a Tate. En otras palabras, $i(k^+)$ es un subespacio de $\widehat{k^+}$, y dado que completar los subespacios de completar Hausdorff espacios cerrados, con esto se completa la Tate argumento.

En realidad yo no había conocido a este argumento; es agradable. Pero creo que el surjectivity se preguntaban también puede ser deducido por otros medios. Voy a ser incompleto aquí. Deje $\mathcal{O} \hookrightarrow k^+$ ser el anillo de los números enteros en la finalización, visto como un subgrupo aditivo. Tenemos una secuencia exacta

$$0 \to \mathcal{O} \to k^+ \to k^+/\mathcal{O} \to 0$$

donde el cociente es un grupo discreto (por ejemplo, en el caso paradigmático donde$k^+ = \mathbb{Q}_p$$\mathcal{O} = \mathbb{Z}_p$, el cociente será un grupo de Prüfer $\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$). Ahora aplique el Pontryagin doble functor a esta secuencia exacta. Resulta que el Pontryagin dual del grupo discreto $k^+/\mathcal{O}$ es isomorfo al grupo compacto $\mathcal{O}$ (y por tanto el doble de $\mathcal{O}$ $k^+/\mathcal{O}$ nuevo). Por lo tanto el doble de la secuencia toma la forma

$$0 \to \mathcal{O} \to \widehat{k^+} \to k^+/\mathcal{O} \to 0.$$

Hay un mapa de la primera corto exacta de secuencias de la segunda secuencia exacta que es inducida a partir de la vinculación en $k^+$, lo que restringe a los mapas de identidad en los extremos. Uno llega a la conclusión de que el mapa en el centro $k^+ \to \widehat{k^+}$ es un isomorfismo topológico de abelian grupos, por un topológica de la versión de cinco lema (vea nota 4 aquí).

Para responder a otra pregunta en el post: si el subyacente es espacio de Hausdorff y la uniformidad admite una contables de sub-base, que resulta ser el caso aquí, el espacio uniforme es, de hecho, metrizable, es decir, la uniformidad es, de hecho, inducida a partir de una métrica.

Answer 2

Hay una prueba de este hecho en Bushnell, Henniart "El local de Langlands conjetura de GL(2)", véase el apartado 1.7, la Proposición. De hecho, funciona para cualquier nonarchimedean de campo local (no necesariamente un $p$-ádico de campo). Tal vez la explicación no sería de ayuda.