Significado de "Existe una clase adecuada de..."

Question

Cómo una declaración de la forma "Existe una clase adecuada de..." puede formalizarse en $ \sf ZFC$ ? Me suena un poco como un oxímoron, porque es la esencia misma de una clase propia que no existe, sólo sus elementos (identificados por algún predicado) existen.

Nunca he visto una definición que asigne un significado formal a las declaraciones de esta forma, pero mi entendimiento que deduje del contexto es el siguiente:

Deje que $P(x)$ ser un predicado con una variable libre $x$ . La declaración "Existe una clase adecuada de objetos que satisfacen $P$ " significa $ \nexists y\, \forall x((x \in y) \iff P(x))$ (es decir. "No hay ningún conjunto que contenga exactamente aquellos objetos que satisfagan $P$ " ).

---

¿Este entendimiento coincide con uno comúnmente aceptado?

Answer 1

Las matemáticas se comunican en lenguaje natural, en última instancia.

Esto significa que escribimos frases que pueden no ser formalmente correctas, pero que son bien entendidas por todos los que están familiarizados con el contexto.

"Existe una clase adecuada de $ \varphi $ " significa que la colección $\{x \mid \varphi (x)\}$ es una clase adecuada. Ciertamente esta colección es definible, y cuando decimos "existe una clase adecuada" queremos decir que no existe $A$ de tal manera que la colección definida por $ \varphi $ es un subconjunto de $A$ .

Así que cuando decimos que existe una clase adecuada de monolitos, queremos decir que no hay un conjunto de todos los monolitos; y existe una clase adecuada de espacios vectoriales sobre $ \Bbb R$ queremos decir que no hay un conjunto de todos los espacios vectoriales sobre $ \Bbb R$ .

Answer 2

Normalmente hablamos de la clase adecuada de algo bien ordenado como los cardenales. En cuyo caso se puede sustituir por "sin límites", $$ \forall \kappa \exists \lambda > \kappa P( \lambda )$$ significa que hay una clase adecuada de cardenales que satisfacen $P$ . En general se puede utilizar la jerarquía acumulativa, $$ \forall \kappa \exists x( \text {Rank}(x) > \kappa \wedge P(x))$$ dice que hay una clase adecuada de conjuntos $x$ satisfactoria $P$ .