La equivalencia de una nueva fórmula para el número de $r$-combinaciones con repetición permitido

Question

Básicamente significa elegir a r las cosas de n, donde el orden no importa, y se le permite elegir una cosa más de una vez. Por ejemplo, $\{1, 1, 2\}$$\{1, 2, 3, 4\}$.

Me las arreglé para encontrar otra solución:

$$ {n \elegir r} + (r-1){n \elegir r-1} + (r-2){n \elegir r-2} + \cdots + {n \elegir 1} $$

Estoy teniendo problemas para demostrar que estos dos son equivalentes.

Answer 1

Como ya ha sido señalado, por desgracia, las dos soluciones no son equivalentes.

Sin embargo, si hacemos uso de Pascal Regla:- $${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$$ y aplicar esta $r$ a veces ${r+n-1 \choose r}$ la siguiente solución puede ser demostrado ser equivalentes:-

$${r-1 \choose r-1}{n \choose r} + {r-1 \choose r-2}{n \choose r-1} + {r-1 \choose r-3}{n \choose r-2} + \cdots + {r-1 \choose 0}{n \choose 1}$$ En otras palabras la siguiente relación se tiene:- $${r+n-1 \choose r}=\sum_{k=1}^r{r-1 \choose k-1}{n \choose k}$$ Tal vez lo que permite la repetición de varios elementos al mismo tiempo, los resultados en el binomio términos de ${r-1 \choose k-1}$ $k\in \{1,2,..,r\}.$