Desigualdad que implican valores y traza de un operador con su adjoint

Question

Me he encontrado un problema que no puedo solucionar:

Deje $\tau$ ser un operador lineal en $\mathbb{C}^n$ y deje $\lambda_{1},...,\lambda_{n}$ ser los autovalores de a $\tau$, cada uno escrito un número de veces igual a su multiplicidad algebraica. Yo debía mostrar que:

$\sum_{i}|\lambda_{i}|^2\leq tr(\tau^*\tau)$

También, uno debe mostrar que la igualdad tiene iff $\tau$ es normal.

Primero sentí que este podría utilizar valores singulares, pero no tengo éxito con esto. Mi idea era que Cauchy-Schwarz puede ser útil. (Yo trabajo con matrices, esto claramente no es una restricción para el problema). Así que he definido el interior del producto $\langle A,B\rangle=tr(B^*A)$, que sé que para ser aceptable. Elementales operaciones de Cauchy-Schwarz desigualdad

$|\langle A,A^*\rangle|^2$$\leq \langle A,A\rangle\langle A^*,A^*\rangle$

a continuación, dar que $|\sum_{i}\lambda_{i}^2|^2$$\leq (tr(A^*A))^2$ (Puedo estar equivocado). Esto no es lo que quiero. En la cuestión de la "igualdad tiene iff $\tau$ es normal", una forma (de derecha a izquierda) es muy fácil.

Le agradezco mucho cualquier sugerencia!

Answer 1

Vamos a hacer una cosa más simple.

Tenemos una descomposición de Schur $\tau=u^*\sigma u$ $u$ unitario y $\sigma$ una matriz triangular superior. Ya que ambos lados de la desigualdad toman el mismo valor $\tau$ $\sigma$ suponemos que $\tau$ de hecho es en sí misma superior triangular. Ahora la desigualdad es obvia, porque el lado derecho es una suma de la mano izquierda y las condiciones de algunos otros, no negativo.

Answer 2

No me extrañaría que si me falta algo, pero no podía pensar en una prueba sencilla. Pero esta desigualdad es un caso particular del teorema de Weyl Majorant (ver teorema II.3.6 análisis de matriz de Bhatia, o seguramente hay muchas otras referencias).