$G$ es un Grupo abeliano de orden $n$ con la propiedad que $G$ tiene más elementos $d$ $d$, de la orden para cualquier % de la divisoria de la $d$$n$. Entonces $G$ es cíclico.
No estoy recibiendo ninguna pista cómo empezar. Por favor ayuda.
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Amr Ibrahim
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En primer lugar, se descomponen $G=C_1\times\cdots\times C_n$, a través del teorema Fundamental de finitely generado abelian grupos, donde el $C_n$ son cíclicos. Vamos a demostrar que las órdenes de la $C_i$ son parejas coprime. Vamos a empezar, decir, con $C_1$$C_2$.
Supongamos $d$ divide tanto a a$|C_1|$$|C_2|$. A continuación, $C_1$ tiene un elemento $\alpha$ orden $d$, e $C_2$ también tiene un elemento $\beta$ orden $d$. A continuación, los elementos de la forma $(\alpha,\beta^i)$ y $(\alpha^i,\beta)$, $i=0,\ldots,d-1$ tienen orden de $d$. Por lo tanto hemos encontrado $2d-1$ elementos de orden $d$, por lo que la hipótesis implica $2d-1\leq d$ e lo $d=1$.
Por lo tanto, $|C_1|$ $|C_2|$ son coprime, y por lo tanto $D_1:=C_1\times C_2$ es cíclico (Producto de dos grupos cíclicos es cíclico iff sus órdenes son co-prime).
Pero ahora tenemos a $G=D_1\times C_3\times\cdots C_n$, un producto de $n-1$ cíclico de los grupos. Procediendo por inducción sobre el número de términos, llegamos a la conclusión de que $G$ es cíclico.
Eugen Covaci
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Inducción en n. Supongamos que la propiedad es verdadera para todos los $k \lt n$.
Vamos a probarlo para $n$. Si $n$ es primo, a continuación, $G$ es cíclico.
Supongamos $n=pq$ donde $p,q$ son coprime.
Ahora vamos a $H_1, H_2$ subgrupos de $G$ de las órdenes de $p,q$ (lo sabemos por el teorema de Cauchy hay subgrupos). Entonces, por hipótesis de inducción, ambos subgrupos son cíclicos.
Deje $x \in H_1, y \in H_2$ orden $p, q$. Entonces z=xy será de orden $pq=n$ $G$ es cíclico.
Ahora supongamos $n=p^k, k \ge 2$ donde $p$ es primo.
A continuación, $G$ es un p-grupo ( grupo en el que cada elemento tiene orden de $p^k$ algunos $k$). La prueba para $G$ cíclico en este caso se puede encontrar aquí. Observe que la propiedad "G tiene a lo sumo d elementos de orden d" implica $G$ tiene más de $p$ elementos de orden $p$ por lo tanto no hay un único subgrupo de orden $p$.
