Particiones de una energía en potencias de la misma flor

Question

Fijar un % alto $p$y $k$ un número natural. La pregunta es entonces:

¿Cuántas particiones de $p^k$ existen en potencias de $p$?

Así, por ejemplo, si $p = 2$ y $k = 2$, hay 4, es decir, (4), (2, 2), (2, 1, 1) y (1, 1, 1, 1).

Esto parece como podría ser un problema difícil en teoría del número, pero realmente no sé mucho (soy un topólogo) teoría del número y así no tienes una idea de estas cosas.

Answer 1

Mi pregunta 428904, "de cuántas maneras para hacer el cambio, multicelular" le preguntó la misma pregunta y encontré la respuesta en un papel de 1948 en Indagationes Math X "En el problema de la partición de Mahler". NG De Bruijn había citado papel de 1940 de Karl Mahler de Journ. Londres Math SOC. "en una ecuación funcional especial". Su fórmula base $p=r$ y número $N=rh$ era %#% $ de #% De Bruijn llegó a calcular la o (1) que era una función periódica pero no diferenciable.
$$ \log C(rh)=\frac{1}{2\log r}\left(\log\frac{h}{\log h}\right)^2 +\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\log r}+\frac{\log\log r}{\log r}\right)\log h\\-\left(1+\frac{\log\log r}{\log r}\right)\log\log h+O(1)$ obedece a la ecuación funcional $C(rh)$.