Un "AGM-GAM" la desigualdad

Question

Para los números reales positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ y $1\leq r\leq$ n deje de $A_r$ y $G_r$, respectivamente, a la media aritmética y la media geométrica de $x_1,x_2,\ldots,x_r$.

Es cierto que la media aritmética de $G_1,G_2,\ldots,G_n$ nunca es mayor que el de la media geométrica de $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ?

Es obvio para $n=2$, y tengo una (bastante engorroso) prueba para $n=3$.

Answer 1

Es un caso especial ($i=0$, $s=1$) de la mezcla de medios de la desigualdad $$M_n^s[M^r[\bar]]\le M_n^r[M^s[\bar]], \quad r,s\in \mathbb R,\ r<s,$$ donde $M^s$ es el poder decir con exponente $s$, ver Encuesta en la Clásica de las Desigualdades, p. 32, teorema 2.

Answer 2

He aquí una prueba para $n=2$. Aplicar el Cauchy-Schwarz desigualdad a los vectores $(\sqrt{a},\sqrt{b})$ y $(1/2,1/2)$ obtener $${\sqrt{a}+\sqrt{b}\over 2}\leq\sqrt{a+b\over 2}.$$ Multiplicar por $\sqrt{a}$ obtener $${+\sqrt{ab}\over 2}\leq \sqrt{a\left({a+b\over 2}\right)}.$$