¿Es exacta la fórmula de Binet para los números de Fibonacci?
$F_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}$
Si es así, ¿cómo, dado los números irracionales en él?
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como otros han señalado, el $\sqrt 5$ partes cancelar, dejando a un entero. Podemos recuperar el Fibonacci de la recurrencia de la fórmula de Binet como sigue:
$$F_n+F_{n-1} = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}+\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}-(1-\sqrt{5})^{n-1}}{2^{n-1} \sqrt{5}}=$$$$\frac{(1+\sqrt{5})^{n-1}(1+\sqrt 5+2)-(1-\sqrt{5})^{n-1}(1-\sqrt5+2)}{2^n \sqrt{5}}$$
Entonces nos damos cuenta de que $(1\pm\sqrt5)^2=6\pm2\sqrt 5=2(3\pm\sqrt5)$
Y usamos esto para simplificar la expresión final a$F_{n+1}$, de modo que $F_n+F_{n-1} =F_{n+1}$
Y la repetición muestra que si dos sucesivos $F_r$ son enteros, cada número de Fibonacci a partir de ese punto es un número entero. Elija $r=0,1$. Esta es otra manera de probar que la cancelación ocurre.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Es exacto, todos los derechos. Cuando se expandan los poderes en los numeradores los signos alternantes significan que todos los términos sobrevivientes son de la forma un entero veces $\sqrt5$. Por lo tanto todos los $\sqrt5$ s cancelar.
Probar con $n=2$ y $n=3$.
Puede ser de interés para observar que como $|1-\sqrt5|/2\approx0.618$ sus poderes rápidamente acercan a cero. Tan considerable $n$, puede caer ese término y a la vuelta del término dominante al entero más cercano. Por ejemplo $n=8$ obtener $F_8=21$ y $(1+\sqrt5)^8/(2^8\sqrt5)\approx21.009$.
Mike
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Lineal reccurent secuencia se pueden encontrar expresión en función de las raíces de los asociados polynom.
$$ F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1} $$
se asocia a
$$ x^2 = x +1 $$
La cual tiene dos soluciones, $ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $ $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ (la proporción áurea, una más que interesante cantidad)
Simple raíces dar una solución general de la siguiente forma:
$$F_{n} = A * (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n} + B * (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n $$
Para determinar a y B que tienen a la entrada inicial contidions:
$$F_{0} = A + B = 0 $$
Por lo $$ B = - A $$
y
$$F_{1} = -B * (\frac{1 - \sqrt{5}}{2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) =1 $$
$$ B = \frac{1}{\sqrt{5}} $$
Así
$$F_{n} = \frac{ (1 + \sqrt{5})^{n} - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}} $$
Mediante la Resolución de $F_0 = i$ $F_1 = j$ usted puede encontrar la expresión general de Fibonnaci secuencia con el inicio de términos de i y j.
kerchee
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66
$${(1+\sqrt5)^n-(1-\sqrt5)^n} \over 2^n \sqrt5$$
Expanda el numerador:
$$(1+\sqrt5)^n-(1-\sqrt5)^n=\sum_{k=0}^{n}{\binom{k}{n}\sqrt5^k}-\sum_{k=0}^{n}{\binom{k}{n}(-1)^k\sqrt5^k}$$
En la segunda suma, todos los términos incluso con Obtén una señal positiva, que se convierte en un signo negativo debido a que la segunda suma es ser restada. Los cancelan con la primera suma y obtenemos:
$$(1+\sqrt5)^n-(1-\sqrt5)^n=2\sum_{0\leq2k\leq n}{\binom{2k+1}{n}\sqrt5^{2k+1}}$$
Nos estamos dividiendo este $2^n\sqrt5$ lo que conseguimos:
$$\frac{2}{2^n}\sum_{0\leq2k\leq n}{\binom{2k+1}{n}\sqrt5^{2k}}$$ $$=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{0\leq2k\leq n}{\binom{2k+1}{n}5^k}$$
Aunque tengo que decir, yo estoy un poco confundido en cuanto a porqué esto debe ser un número entero.
