Dado que dices que estabas intentando pegar un pañuelo, supongo que te gustaría tener alguna intuición geométrica sobre cómo se interpretan estos diagramas de pegado. El estudio de los orbípedos (cuocientes de variedades por grupos de simetría que satisfacen ciertas restricciones; cualquier grupo discreto servirá) ofrece una forma generalizada y natural de entender y anotar estos espacios. Intentaré ayudarte a construir/visualizar modelos físicos de estos espacios.
Aquí está mi proceso de interpretación de los diagramas de pegado:
- Dos flechas coincidentes cuyas puntas se encuentran en un punto significan que se debe realizar un pliegue cuya línea pase por dicho punto. Esto produce lo que llamamos un punto cónico. ¿Por qué? Bueno, si tomas una hoja de papel plana y la doblas por una esquina de modo que los bordes se encuentren, lo que tienes es difeomorfo a un cono. La existencia de un punto cónico está designada por un entero positivo $N$ cuya magnitud indica la inclinación del cono, aunque esto no importa hasta la homeomorfía.
- Dos flechas coincidentes que se encuentran en un punto, la cabeza de una flecha y la cola de la otra, significan un límite de reflexión. La razón de esto es un poco más difícil de explicar. Notamos la existencia de un límite de reflexión con el símbolo $*$.
Un límite de reflexión en un espacio métrico geodésico es una geodésica, por lo que volvemos a dibujar estos diagramas de pegado con estos vértices enderezados. Es decir, el primero se ve así:
$\hskip2.1in$ 
El plegado no se puede realizar con un trozo de papel, porque este es un espacio cuociente de la esfera (con curvatura gaussiana positiva):
$\hskip1.4in$ 
El primer diagrama tiene un punto cónico y un límite de reflexión. Esto lo convierte en un orbipedo $N*$, como se menciona en el título de la imagen anterior. Creo que este patrón de plegado se puede incrustar isométricamente en $\mathbb R^3$. Después de un cálculo rápido para un punto cónico de orden $2$, se ve así:
$\hskip2.15in$ 
Esto se verá mucho más estirado y delgado para el patrón de teselado esférico mostrado anteriormente. El disco límite en la parte inferior se interpreta de la siguiente manera: cuando una geodésica pasa a través del límite, se refleja especularmente. Sin embargo, hay un problema. Puede que hayas notado que en la imagen de la esfera anterior, más puntos se identifican entre sí que solo los del límite. Esto se resuelve permitiendo que esta forma que hemos creado tenga dos hojas: 
(Realmente, cada una de estas hojas debería ser la mitad de gruesa de un cono, pero no lo pensé hasta ahora). La unión entre estas hojas se ve como un cambio repentino de color donde deberíamos cambiar a la otra hoja para que el color cambie continuamente mientras seguimos una geodésica a través de la unión. Ahora, si una geodésica pasa a través del límite del disco, debería ser reflejada especularmente y salir de la otra hoja.
Aquí está el truco: una manera realmente genial de visualizar esto con un modelo físico es crear una única copia de esta forma y marcar la unión. Ahora, cuando pases a través de la unión, o llegues al límite del disco, permítete seguir dibujando en el otro lado de la forma. Al distinguir entre los dos lados diferentes de la superficie bidimensional, nos permitimos tener dos hojas isométricas.
El segundo ejemplo es más complicado. Tiene dos límites de reflexión que se encuentran en dos vértices. Como espacio cuociente de la esfera:
$\hskip1.6in$ 
No estoy seguro de si hay una forma de incrustar esto isométricamente en $\mathbb R^3$ sin puntos identificados. Deja un comentario si se te ocurre algo.
Las imágenes esféricas fueron tomadas del Symmetry of Things de Conway (ISBN: 1568812205)
Debo señalar que los ejemplos que he ilustrado son espacios con curvatura uniforme y positiva. Solo preguntaste sobre qué son estos espacios hasta la homeomorfía, pero eso es un poco aburrido ;)
$\qquad\qquad\qquad\qquad$
