¿Qué están las extensiones de Galois de $\mathbb{Q}$ cuyo grupo de Galois es el Grupo cíclico de orden principal? El Teorema fundamental de la teoría de Galois, dice que el grado de la extensión es el mismo que el orden del grupo de Galois. ¿Podemos encontrar un polinomio explícita del grado que es un número arbitrario de primer?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para la construcción de una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ orden $p$, toma un entero $N$ tal que $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^*$ mapas surjectively en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, entonces el campo $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ contiene un subcampo $K$ tal que $[K:\mathbb{Q}]=p$ $K$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$ (Aquí se $\zeta_N$ es una primitiva $N$-ésima raíz de la unidad). Por ejemplo, para encontrar un galois de la extensión de $\mathbb{Q}$ de grado 5, usted puede mirar en el subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta_{11})$ que se fija por el complejo de la conjugación. De Kronecker-weber Teorema establece que cada finito abelian extensiones de $\mathbb{Q}$ es un subcampo de la cyclotomic campos, por lo que cada Galois de la extensión de $\mathbb{Q}$ de primer orden surge de esta manera.
Continuar con el ejemplo con el primer $p=5$, para encontrar todas estas extensiones, vamos a mirar la secuencia $5n+1$. Por parte del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, hay una infinidad de números primos $q$ en esta progresión aritmética, cada una de las $\mathbb{Q}(\zeta_q)$ contiene un subcampo que es un grado 5 de la extensión de $\mathbb{Q}$. Todos estos subcampos son distintos porque ellos ramifies en diferentes números primos. Último, tenga en cuenta que también existe un subregistro de la $\mathbb{Q}(\zeta_{25})$ que es de grado 5 $\mathbb{Q}$.
Edit: yo estaba equivocado acerca de mi lista completa declaración. Por ejemplo, $\mathbb{Q}(\zeta_{341})$ (compuesto de $\mathbb{Q}(\zeta_{11})$$\mathbb{Q}(\zeta_{31})$) tiene 6 subcampos que están grado 5 abelian extensiones de $\mathbb{Q}$. Disculpas.
