¿Es este un uso correcto del teorema de restricción?

Question

Tengo que encontrar el siguiente límite:

$$ \lim_{x\to0,y\to0} \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}=[\frac{0}{0}] $$

Trato de llegar al origen del movimiento en el eje y ($x=0$):

$$ \lim_{y\to0} \frac{0}{y^4}=0 $$

Puedo obtener el mismo resultado cuando estoy en movimiento en el eje x ($y=0$):

$$ \lim_{x\to0} \frac{0}{x^2}=0 $$

Lo mismo si me muevo más de ($y=x$):

$$ \lim_{y\to0} \frac{x^2x^2}{x^2+x^4}=\lim_{y\to0} \frac{x^2}{1+x^2} = 0 $$

Así que empiezo a tener la confianza de que el límite debe ser 0. Vamos a probarlo.

$$ \left| f(x,y) - l \right| = \left| f(x,y) - 0 \| derecha = \left| \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} \right| $$

Buscando en la fracción sabemos que:

$$ x^2 \leq x^2+y^4 $$

Así que...

$$ \frac {x^2} {x^2+y^4} \leq 1 \forall (x,y) \neq (0,0) $$

Ahora podemos decir que:

$$ \left|y^2\frac{x^2}{x^2+y^4}\right|\leq \left|y^2\right| $$

Así que por el teorema del sándwich tenemos que conseguir:

$$ -h(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y) $$

Y..

$$ \lim_{x\to0,y\to0} h(x,y) = \lim_{x\to0,y\to0} y^2 = 0 $$

Así que podemos decir que el límite es 0. Es esto prueba de derecho? Hay otra clase de demostrar que puedo aprender?

Answer 1

Se ve bien para mí.

Otra manera general para hacer eso (aunque en este caso su forma es probablemente la mejor )es la de establecer $x = \rho \cos \theta$, $y = \rho \sin \theta$ y tomando el límite cuando $\rho \to 0$.

Hay algunas capturas con estas técnicas, aunque, como usted debe primero encontrar una función de $\rho$, que está en el módulo más grande que el otro y demostrar que va a $0$.

Por ejemplo, en este caso, la configuración de $f(x, y) = \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$, intenta encontrar una función $g(\rho)$ tal que $$|f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)| \le g(\rho) \to 0$$ y gracias al teorema del sándwich se puede concluir. Los cálculos en su caso (aviso que no puse el módulo como todas las cantidades son positivas)

$$ \frac{\rho ^ 4 \sin^2 \theta \cos ^2\theta}{\rho^2 (\cos ^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta)} = \frac{\rho ^ 2 \sin^2 \theta \cos ^2\theta}{\cos ^2 \theta + \rho^2 \sin^4 \theta} \le \frac{\rho ^ 2 \sin^2 \theta \cos ^2\theta}{\cos ^2 \theta} = \rho^2 \sin ^2 \theta \le \rho^2 = g(\rho) \to 0 $$

Y, de nuevo gracias al teorema del encaje, se puede concluir que el límite es de $0$

Answer 2

La prueba es correcta. El teorema del apretón es una de las técnicas más usadas para probar límites 2D de funciones.