¿Cuándo $x^2+2y^2 =p$ tiene solución en los números enteros?

Question

Mostrar que $x^2+2y^2=p$ tiene una solución en $\mathbb{Z}\;$ si y sólo si $\;p \equiv 1 \; \text{or} \; 3 \mod 8$.

Alguien puede ayudarme en esto. Thnx.

Answer 1

Una dirección: si $x^2+2y^2=p$$x^2\equiv -2y^2\pmod{p}$. Pero $\gcd(y,p)=1$$(x/y)^2\equiv -2\pmod{p}$. Por lo tanto $1=\left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p+1)(p-1)}{8}}(-1)^{\frac{p-1}{2}}$, lo que implica $p\equiv 1,3\pmod{8}$.