Una pregunta en las escuelas elementales de la teoría de números

Question

Acaba de llegar a través de la siguiente pregunta:

Vamos $S=\{2,5,13\}$. Note que $S$ satisface la siguiente propiedad: para todo $a,b \in S$ y $a \neq b$, $ab-1$ es un cuadrado perfecto. Demostrar que para cualquier entero positivo de $d \no\in S$, $S \cup \{d\}$ no satify la anterior propiedad.

Esta pregunta se puede hacer considerando módulo 4.

Aquí viene mi pregunta:

¿Cuál es el mayor valor de $||$ si todos los elementos en $Un$ son diferentes y para cualquier $a,b \in A$ y $a \neq b$, $ab-1$ es un cuadrado perfecto?

Observación: $A$ no puede contener ninguno de $\{2,5,13\}$, ejemplo: $\{17, 26, 85\}$

Edit: Desde el enlace de aquí, hay una cantidad infinita de 3 elementos de los conjuntos de statisfy la poperty. Estos conjuntos son de la forma $\{a, b, a+b+2r\}$ donde $r^2 = ab-1$. Somos capaces de encontrar una 4-elemento de conjunto que statisfies la propiedad?

Answer 1

Por el papel A. Dujella y C. Fuchs, la solución Completa de un problema de Diophantus y Euler, J. Londres Matemáticas. Soc. 71 (2005), 33-52. (ver Teorema 1b), no existe 4-elemento de conjunto de lo que se considera la propiedad y con todos los elementos mayores que 1.

Para resultados en conjuntos con 1, ver, por ejemplo, la N. C. Bonciocat, M. Cipu, M. Mignotte, En D(-1)-cuádruples, Publ. Mat. 56 (2012), 279-304. En particular, si {1,a,b, c,d} se ha considerado la propiedad, entonces b>10^{13}.

Answer 2

He estado tratando de encontrar una 4-elemento de conjunto que satisface la propiedad. Me encontré con un programa de ordenador para comprobar todos los 4 elementos de los conjuntos de números enteros <= 20.000 y no encontré nada, así que supongo que no hay ningún tipo de conjuntos, aunque, por supuesto, yo no tengo nada concluyente.

El programa también se enumeran todos los 3 elementos de los conjuntos que se encuentran, y me he dado cuenta de que cada conjunto, tomado del modulo 4, es {1, 1, 1} o {1, 1, 2}. Ahora puedo probar esto:

Es bastante fácil ver que, si a*b-1 es un cuadrado, entonces {a, b} modulo 4 es uno de {1, 1}, {3, 3}, {1, 2}, y {2, 3}.

Siguiente, mirando a través de algunas notas sobre la teoría de los números que he impreso en el MIT OpenCourseware, hay un lema que se afirma que, debido a que a*b es la suma de dos cuadrados (n^2 + 1^2), cualquiera de los factores primos de a*b que son congruentes a 3 mod 4 debe dividir ambos cuadrados, es decir, n y 1. Ya no primos división 1, esto implica que a*b no tiene factores primos congruentes a 3 mod 4, del que se desprende que a y b son ambos no congruentes a 3 mod 4.

Por lo tanto, {a, b} modulo 4 es uno de {1, 1}, {1, 2}. A partir de esto, es fácil ver que cualquier 3-elemento de conjunto que satisface la propiedad es de una de las formas {1, 1, 1}, {1, 1, 2}, como se desee.

@pipi: ¿cómo probar que el problema original "modulo 4"? ¿Su resultado implica que cualquier conjunto de la forma {1, 1, 2} modulo 4 no puede ser extendido a un 4-elemento? Si es así, mediante el uso de su argumento y, a continuación, modificación de la misma para trabajar en {1, 1, 1}, podemos ser capaces de demostrar que no 4-elemento de los conjuntos de la satisfacción de la propiedad existe.